Principio de reflexión de Montague y teorema de compacidad

Question

He aquí una pregunta que no puedo responder por mí mismo: El Principio de Reflexión en la Teoría de Conjuntos establece para cada fórmula $\phi(v_{1},...,v_{n})$ y para cada conjunto M existe un conjunto N que amplía M tal que se cumple lo siguiente

$\phi^{N} (x_{1},...,x_{n})$ si $\phi (x_{1},...,x_{n})$ para todos $x_{1},...x_{n} \in N$

Así, si $\sigma$ es una sentencia verdadera entonces la RFP produce un modelo de ella y como consecuencia cualquier conjunto finito de axiomas de ZFC tiene un modelo (como consecuencia ZFC no es finitamente axiomatizable por el Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel)

Pero, ¿por qué no puedo utilizar ahora el Teorema de la compacidad (que establece que cada conjunto infinito de fórmulas tal que cada subconjunto finito tiene un modelo, tiene un modelo en sí mismo) para obtener un modelo de ZFC (que en realidad es imposible)?

Answer 1

Para cualquier conjunto finito de axiomas K de ZFC, ZFC demuestra que "K tiene un modelo", a través del principio de reflexión como usted señala. Sin embargo, ZFC no demuestra que "para cualquier conjunto finito de axiomas K de ZFC, K tiene un modelo". La distinción entre estos dos es lo que impide a ZFC demostrar que ZFC tiene un modelo.

(Es decir, aunque, como observas, ZFC prueba "si todo conjunto finito de axiomas K de ZFC tiene un modelo, entonces ZFC tiene un modelo", ya que ZFC prueba la compacidad, no se sigue que ZFC pruebe el consecuente de esta implicación, ya que de hecho ZFC no prueba el antecedente; ZFC sólo prueba cada instancia particular del antecedente, pero no el enunciado universal en sí).

Answer 2

Como ya explicó Sridhar, la Reflexión de Lévy-Montague es un esquema de teoremas y no un teorema único que resuelve la aparente contradicción, pero he aquí algunos datos interesantes adicionales.

En primer lugar, nótese que ZFC no es finitamente axiomatizable (de lo contrario tendríamos una contradicción), pero existe una lista recursiva de los axiomas de ZFC. Fijemos dicho listado $\phi_0$ , $\phi_1$ , $\phi_2$ ,... Si $M$ es un modelo de ZFC, entonces $M$ es un $\omega$ -(es decir, los ordinales finitos de $M$ son realmente finitos) o no lo es (es decir. $M$ tiene algunos ordinales finitos no estándar). Veamos qué ocurre en cada caso.

Supongamos en primer lugar que $M$ es un $\omega$ -modelo. El listado recursivo $\phi_0$ , $\phi_1$ , $\phi_2$ ... existe en $M$ y, por Lévy-Montague, las personas que viven en $M$ creen que $\{\phi_0,\ldots,\phi_n\}$ tiene un modelo para cada $n < \omega$ . Dado que las personas que viven en $M$ también creen en el Teorema de la compacidad, también creen que existe un modelo de ZFC. Esto es sorprendente, pero nótese que la hipótesis de que $M$ es un $\omega$ -modelo es esencial, ya que sin él no hay razón para $M$ para que coincida con la nuestra. Aquí es donde tu razonamiento inicial se desvió, naturalmente asumiste que cada modelo de ZFC era un $\omega$ -modelo.

Supongamos ahora que $M$ no es un $\omega$ -modelo. El listado recursivo $\phi_0$ , $\phi_1$ , $\phi_2$ ... tiene sentido en $M$ pero como $M$ tiene ordinales finitos no estándar este listado continúa más allá del verdadero $\omega$ y las personas que viven en $M$ creen que estas $\phi_N$ ¡son verdaderos axiomas de ZFC! Por Lévy-Montague, $M$ cree que $\{\phi_0,\ldots,\phi_n\}$ tiene un modelo para cada estándar $n$ pero como la Reflexión de Lévy-Montague no dice nada sobre axiomas no estándar, puede haber algún ordinal finito no estándar $N$ en $M$ de tal manera que las personas que viven en $M$ no creen que el conjunto finito no estándar $\{\phi_0,\ldots,\phi_N\}$ tiene un modelo.

Aquí hay algo curioso que fue señalado por Joel David Hamkins en respuesta a otra pregunta . Supongamos que $M$ es un modelo de ZFC + ¬Con(ZFC). Dado que las personas en $M$ creen que sus ordinales finitos están bien ordenados, debe haber un primer ordinal finito $N$ en $M$ tal que $\{\phi_0,\ldots,\phi_N\}$ no tiene modelo en $M$ . Este $N$ debe ser un ordinal finito no estándar, al igual que su predecesor $N-1$ . Por minimalidad de $N$ personas en $M$ creen que $\{\phi_0,\ldots,\phi_{N-1}\}$ tiene un modelo. Sea $M'$ ser un modelo de este tipo. Obsérvese que $M' \models \phi_n$ para cada estándar axioma $\phi_n$ desde $n < N-1$ . Por lo tanto, aunque las personas que viven en $M$ ciertamente no lo creo, este $M'$ ¡¡¡es de hecho un modelo de ZFC!!!

Así pues, la reflexión de Lévy-Montague implica que cada modelo de ZFC contiene otro modelo de ZFC, pero los modelos no son necesariamente conscientes de ello...