Variedades hiperbólicas que se fibrasobre el círculo

Question

Si $N^2$ es una superficie cerrada y orientable de género al menos $2$, y si $\phi$ es un mapeo pseudog \['eodes orientable (preservador de la orientación) en $N$, entonces se puede formar la 3-variedad orientable cerrada $M^3$ pegando los componentes de borde de $N^2\times [0,1]$ a través de $\phi$. En otras palabras, $M^3$ está fibrada sobre $S^1$, con fibra $N^2$. $M^3$ también puede tener una estructura hiperbólica (al igual que $N^2$ puede). Entonces mi pregunta es:

¿Existe una variedad hiperbólica orientable cerrada $M^k$, fibrada sobre $S^1$ con una fibra $N^{k-1}$, cuando $k\neq 3$?

No existe tal $M$ para $k=2$. También se sabe (a través de la rigidez de Mostow) que para que exista tal $M^k$ para $k>3$, la fibra $N^{k-1}$ no puede ser hiperbolizable. Pero no sé más allá de eso.

Answer 1

Hago una observación aquí que es bien conocida por los expertos, que $\pi_1(M)$ es una extensión de $\pi_1(N)$ por un automorfismo exterior de orden infinito, explicando en parte el comentario de Misha.

Considera la secuencia $\pi_1(N^{k-1}) \to \pi_1(M^k) \overset{\varphi}{\to} \mathbb{Z}$. Escoge $\alpha\in \pi_1(M)$ tal que $\varphi(\alpha)=1\in \mathbb{Z}$. Luego, la conjugación $g\mapsto \alpha^k g\alpha^{-k}, g\in \pi_1(N)$ proporciona un automorfismo de $\pi_1(N)$. Si este automorfismo es conjugación por un elemento de $\pi_1(N)$ para algún $k$, entonces existe $h\in \pi_1(N)$ tal que $\alpha^k g \alpha^{-k}=hgh^{-1}$ para todo $g\in \pi_1(N)$. Sea $\alpha'=h^{-1}\alpha^k$, entonces $\alpha' g= g \alpha'$ para todo $g\in \pi_1(N)$. Considera el subgrupo cíclico maximal $C<\pi_1(M)$ que contiene a $\alpha'$ (existe un único tal grupo ya que $\pi_1(M)$ es el grupo fundamental de una variedad hiperbólica cerrada, entonces $C$ es el estabilizador del eje de $\alpha'$ por la prueba del teorema de Preissman). También por el teorema de Preissman, el subgrupo generado por $\langle \alpha', g \rangle$ es abeliano y por ende cíclico, y por ende $g\in C$. Pero esto implica que $\pi_1(N)\leq C$, entonces $\pi_1(M)\leq C$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la conjugación por $\alpha$ se mapea a un elemento de orden infinito de $Out(\pi_1(N))$.

Luego, si $\pi_1(N)$ es hiperbólico, se puede deducir que $\pi_1(N)$ se descompone sobre $\mathbb{Z}$ por la teoría de Rips. Sin embargo, un grupo de variedad cerrada asférica de dimensión $k-1$ no puede descomponerse sobre $\mathbb{Z}$ para $k>2$.