Integración de cuaterniones

Question

Si la velocidad angular cambia continuamente, se cumple lo siguiente

$ q(t)=q(0)\exp\left({\int_{0}^{t}\frac{q_\omega(\tau)}{2}\ d\tau}\right) \tag 1$

Especificaciones y datos

1. $q(t),q(0)$ representa los cuaterniones
2. $q_\omega(\tau)$ representa la representación en cuaterniones de la velocidad angular en $\tau$ . Esto implica que si $\omega(\tau) \in R^3 $ es la velocidad angular, entonces $q_\omega(\tau)=(0,\omega(\tau))$ en $\tau$
3. Exponente de un cuaternión $J=( p,v)$ puede definirse como \begin{eqnarray} e^{J}=e^{p}\left(cos|v| ,\frac{v}{|v|}sin|v| \right) \end{eqnarray}$v$ es un vector. Si te dan un vector, hazlo como un cuaternión con $p=0$

Pregunta

¿Cómo probamos la ecuación $ q(t)=q(0)\exp\left({\int_{0}^{t}\frac{q_\omega(\tau)}{2}\ d\tau}\right) $ ¿precisamente?

Answer 1

http://www.cim.mcgill.ca/~mpersson/docs/quat_calc_notes.pdf da lo que creo que es esencialmente el mismo resultado, $$ q(t) = q(t_0) \exp\left(\frac 12 \int_{t_0}^t \mathbf{\omega}(\tau) d\tau\right), $$ pero esto utiliza la siguiente definición de la derivada de un cuaternión como función de $t$ : $$ \frac d{dt} \mathbf q(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac 1{\Delta t} 2\log(\mathbf q(t)^{-1}\mathbf q(t + \Delta t)) $$

El cálculo diferencial sobre cuaterniones también se trata en http://web.mit.edu/2.998/www/QuaternionReport1.pdf y http://arxiv.org/pdf/math/0310362.pdf pero esos tratamientos parecían menos útiles.