Polea y rampa inclinada

Question

Se sujeta una caja de 100 kg en una rampa que se eleva 30° sobre la horizontal. Hay una cuerda sin masa unida a la caja que forma un ángulo de 22° sobre la superficie de la rampa. Los coeficientes de rozamiento entre la caja y la superficie de la rampa son k = 0,40 y s = 0,60. La polea tiene una masa de 10 kg y un radio de 10 cm. Sin embargo la polea no tiene rozamiento.

A). Cuál es el peso máximo que puede tener la masa colgante para que la caja permanezca en reposo.

B). El sistema está en reposo con el peso de la masa colgante hallado en la parte A, pero una mota de polvo se posa sobre el peso de la masa colgante, haciendo inestable el sistema. ¿Cuál es la aceleración de la caja en el momento en que empieza a moverse?

Ver esquema

P Así es como configuro mis ecuaciones:
Fuerza de gravedad sobre el bloque = (100)(9,8)sen(30) = 490
NF = 100cos(30) - Tensión sen(22) = 503 - Tensión sin(22)
Masa en rampa = Ma
Mb = Masa colgante = Tensión-(Mb)(9,8) = 0

Fuerza neta sobre la caja = 0, ecuación de fuerzas =
Tensión cos(22) - Ma gsin(30) - ( Ma gcos(30) - Tensión sen(22) ) = 0

Luego procedí a enchufar Ma, g = 9.8, y = .60
Entonces usando la ecuación anterior y la ecuación de la masa colgante resolví para Mb
Tengo
Mb = ~ 88 kg

P Estoy bastante seguro de mi respuesta a la parte A, pero ahora no sé exactamente cómo resolver la parte B.
Sé que el radio de la polea es de 10 cm y la masa es de 10 kg.

Tenía que encontrar las ecuaciones para las dos tensiones. Sin embargo, una cosa para la que tuve que formar una nueva ecuación (al menos eso creo) es la Fuerza Normal. Antes sabía que la componente vertical de la fuerza normal sería simplemente 0, pero ahora como se está moviendo también podría cambiar.

Mi nueva ecuación es:
NF = 100gcos(30) - Tensión sen(22) = Ma A
NF = 100gcos(30) - Tensión sen(22) - Ma A = 0
Sé que tengo que sustituir esto en mi ecuación original, por lo que puedo utilizarlo para calcular la fuerza de Fricción
Tensión2*cos(22) - Magsin(30) - ( 100gcos(30) - Tensión2*sin(22) - Ma A ) = 0
poner esta ecuación en términos de Tensión2, pero debo dejar la aceleración en términos de A
Tensión2 = 129A + 770
Mi ecuación para la tensión1 era más fácil, simplemente:
Tensión1 = Mb A - Mb A

Ahora los introduzco en una ecuación de Par teniendo en cuenta la masa de la polea y el radio
Tnet = [ Tensión2 - Tensión1]*radio = .5 m r^2

Ahora es cuando aparecen mis dificultades, tengo dos incógnitas con A y Mb. Tengo que imaginarme que la intención de la masa B es que la mota de polvo no represente casi nada, y el sentido de la misma era explicar que el sistema estaría en movimiento y debería contabilizarlo como la misma masa de antes, pero no sé. Cualquier consejo sería estupendo.

Hágame saber si hay algo que debería elaborar en algo .. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Este tipo de problemas son muy difíciles de resolver sin un diagrama de fuerzas. Consideramos todo estacionaria.

Consideremos ahora piezas del sistema de forma aislada.

1. La polea:

$$\vec{F_c}+m_B\vec{g}+\vec{T}=0\tag{1}$$

Lo utilizaremos más tarde para determinar $T$ .

2. La masa en la pendiente:

$$\vec{T}+\vec{F_N}+\vec{F_F}+m_B\vec{g}=0\tag{2}$$

3. Todo el sistema:

$$\vec{F_c}+\vec{F_N}+\vec{F_F}+m_B\vec{g}+m_A\vec{g}=0\tag{3}$$

Ahora usa $(3)$ determinar $F_c$ : $$\Sigma F_y=0$$ Así que..: $$F_c-m_Bg-m_Ag+m_Ag\cos\alpha-m_A\mu g\cos\alpha\sin\alpha=0\tag{4}$$

(Nota: $\beta=22°+33°$ )

En $(4)$ sólo contiene conocidos, $F_c$ ya puede determinarse.

Aplicar ahora $\Sigma F_y=0$ a $(1)$ : $$F_c-m_Bg-T\sin\beta=0\tag{5}$$ Esto determina $T$ .

A continuación, aplique $\Sigma F_y=0$ a $(2)$ : $$T\sin\beta-m_Ag+m_A\mu g\cos\alpha\sin\alpha=0\tag{6}$$ Eso determina $m_A$ .

En cuanto a su segunda pregunta, si $m_B$ es demasiado alto, entonces $(6)$ ya no es cierto y se convierte en:

$$T\sin\beta-m_Ag+m_Ag\mu \cos\alpha\sin\alpha=m_Aa\sin\alpha\tag{7}$$

Dónde $a$ es la aceleración.