Interpolación de funciones multivariables

Question

Supongamos que tengo dos funciones, $f_1$ y $f_2$ que dependen de $x$ y $y$ de modo que $f_1(x,y)$ y $f_2(x,y)$ .

No conozco las funciones exactas, pero conozco los valores de cada función en algunos puntos (en realidad, en los puntos que quiera).

Así, por ejemplo, digamos que:

en $x=+1$ y $y=-1$ , $$f_1=+9,$$ $$f_2=+7,$$

en $x=-1$ y $y=+1$ , $$f_1=-2,$$ $$f_2=-6,$$

en $x=+1$ y $y=+1,$ $$f_1=+11,$$ $$f_2=+9.$$

en $x=-1$ y $y=-1,$ $$f_1=-7,$$ $$f_2=-8.$$

Necesito encontrar los valores de $x$ y $y$ donde ambas funciones son iguales $0$ .

Si cada función sólo dependiera de una variable, bastaría con una interpolación lineal. Pero como ambas funciones dependen de $2$ variables que me confunden un poco.

He estado buscando sobre interpolación bilineal y trilineal, pero realmente no puedo precisar lo que realmente necesito usar.

Gracias a todos.

Answer 1

¿Qué tal así? Supongamos que la función puede ser aproximada por un polinomio de grado 1, es decir, $$f_1(x, y) = c_{00} + c_{10}x + c_{01}y$$ para algunas constantes $c_{00}$ , $c_{10}$ y $c_{01}$ . A partir de las tres primeras condiciones, tenemos $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{00} \\ c_{10} \\ c_{01} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1(1, -1) \\ f_1(-1, 1) \\ f_1(1, 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -2 \\ 11 \end{bmatrix} $$ y su solución es $c_{00} = 7/2$ , $c_{10} = 13/2$ y $c_{01} = 1$ . Por lo tanto $$ f_1(x, y) \approx \frac{7}{2} + \frac{13}{2}x + y. $$ Hazlo de nuevo por $f_2$ y obtenemos $$ f_2(x, y) \approx \frac{1}{2} + \frac{15}{2}x + y. $$ Por último, resolver $$\begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_2(x, y) = 0 \end{cases}$$ te da $x = 3$ y $y = -23$ .

Si desea obtener una aproximación más precisa, intente hacerlo mediante un polinomio de mayor grado.

Answer 2

Otro intento. Como parece que las coordenadas son de un plano, las interpreto como valores complejos. Entonces a partir de los cuatro argumentos dados y los cuatro valores resultantes hago un procedimiento ordinario de interpolación polinómica. Esto da el polinomio complejo: $$ \operatorname{ cofu } (z)= (-25/16 - 37/16 I) z^3 + 3/8 I z^2 + (33/8 + 23/8 I) z + (11/4 + 1/2 I) $$ Esto da entonces, por ejemplo, $$ \operatorname{cofu}(1-1 I) = 9 + 7I $$ Se puede trace esto usando mathematica , obteniendo una impresión aproximada - no encuentro los mejores parámetros de comando, sin embargo...

Entonces se puede utilizar un buscador de raíces complejo, como por ejemplo en Pari/GP (o de nuevo en Wolfram-mathematica ). Obtenemos utilizando Pari/GP: $$ \operatorname{polroots}(\operatorname{cofu}(z)) = \\ [1.57353592868 - 0.292970871914 I, \\ -0.931132188421 - 0.0424173327510 I, \\ -0.531069738252 + 0.410613881696 I] $$