Al derivar la transformación de velocidad de Lorentz en un marco de referencia reforzado, obviamente vamos a utilizar la transformación de coordenadas de Lorentz y luego diferenciarla con respecto a $t'$ . Mi pregunta es: Dado que $x'$ es función de $x$ y $t$ y ambas son funciones de $x'$ y $t'$ Me pregunto por qué utilizamos la regla de la cadena para las derivadas normales (una sola variable), por ejemplo $\text{d}x'/\text{d}t' = (\text{d}x'/\text{d}t)\times(\text{d}t/\text{d}t')$ ? La razón por la que esto me confunde es porque como es una función multivariable, ¿no tendríamos que tomar derivadas parciales? Espero que mi pregunta tenga sentido. Gracias de antemano.
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Es importante recordar cuáles son los símbolos $x$ y $t$ realmente significan, ya que un gran número de fuentes tienden a sobrecargarlos, lo que resulta confuso.
En las transformaciones originales de Lorentz $$t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right) \\ x'=\gamma\left(x-vt\right)$$ los símbolos $x$ , $t$ , $x'$ y $t'$ son las coordenadas de a evento único en el espaciotiempo. Es decir, un punto en el espacio y un instante en el tiempo.
Sin embargo, al derivar la fórmula de adición de velocidad, se dan los símbolos $x$ y $x'$ un significado ligeramente diferente: la posición de un objeto en función del tiempo. Supongamos que el objeto se desplaza con una velocidad $u$ en $S$ y $u'$ en $S'$ con $S'$ en movimiento con $v$ en relación con $S$ . Por lo tanto, tenemos $$x=x(t)=ut\\ x'=x'(t')=u't'$$
Por eso $u=\text{d}x/\text{d}t$ y $u'=\text{d}x'/\text{d}t'$ son derivadas ordinarias, porque representan la posición de un objeto en lugar de un suceso en el espaciotiempo. Las transformaciones se convierten entonces en $$t'=\gamma\left(1-\frac{uv}{c^2}\right)t \\ x'=\gamma\left(u-v\right)t$$ de lo que se deduce que $\text{d}t'/\text{d}t$ y $\text{d}x'/\text{d}t$ también son derivadas ordinarias. La fórmula deseada $u'=(u-v)/(1-uv/c^2)$ también es evidente.
En resumen, una vez que utilizamos $x$ y $x'$ para representar las posiciones del objeto en movimiento, $x$ y $t$ ya no son independientes; tampoco lo son $x'$ y $t'$ . Las transformaciones de Lorentz se convierten en funciones de una sola variable.
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$\require{\cancel}$ No creo que la regla de la cadena sea necesaria. Basta con expresar la transformación de Lorentz en forma diferencial \begin{align} \mathrm d x' & = \gamma\left(\mathrm dx-v\mathrm dt\right) \tag{01a}\\ \mathrm d t' & = \gamma\left(\mathrm dt-\frac{v}{c^2}\mathrm dx\right) \tag{01b} \end{align} dividir uno al lado del otro \begin{equation} \dfrac{\mathrm d x'}{\mathrm d t'}=\dfrac{\gamma\left(\mathrm dx-v\mathrm dt\right)}{\gamma\left(\mathrm dt-\dfrac{v}{c^2}\mathrm dx\right)}=\dfrac{\left(\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-v\right)\cancel{\gamma\mathrm dt}}{\left(1-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)\cancel{\gamma\mathrm dt}} \tag{02}\label{02} \end{equation} tener \begin{equation} u'=\dfrac{\left(u-v\right)}{\left(1-\dfrac{uv}{c^2}\right)} \tag{03}\label{03} \end{equation}
