Una pregunta sobre la prueba de la rigidez de Mostow

Question

Recientemente he estado estudiando una prueba de la rigidez de Mostow (en la línea del argumento original de Mostow), y me he quedado un poco confuso sobre algo. Empezamos con un isomorfismo $\alpha: \Gamma \to \Gamma'$ entre redes cocompactas en $\mathbb{H}^n$ , $n \geq 3$ y observe que dicho mapa se eleva a una cuasi-isometría $\phi: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n$ . Declaramos que dos cuasi-isometrías están próximas si la distancia puntual entre ellas está uniformemente acotada, y demostramos que el grupo $QI$ de cuasi-isometrías en $\mathbb{H}^n$ módulo de proximidad es isomorfo al grupo $QC$ de homoemorfismos cuasiconformes de la esfera límite. Con la ayuda de algunos análisis detallados de mapas cuasiconformes y de un teorema ergódico, completamos la prueba mostrando que el mapa sobre la esfera límite inducido por $\phi$ es realmente conforme.

Mi pregunta es sobre la parte del argumento en la que demostramos que $QI$ es isomorfo a $QC$ . Para demostrar que toda cuasi-isometría en $\mathbb{H}^n$ se extiende a un homeomorfismo de la esfera límite, que este mapa de extensión es inyectivo, y que su imagen está en $QC$ sólo implica ideas estándar en geometría a gran escala y geometría hiperbólica (principalmente el hecho de que el espacio hiperbólico es hiperbólico de Gromov). La subjetividad, por otro lado, es mucho más difícil; básicamente implica un complicado teorema de compacidad en análisis. En la mayoría de las referencias que he utilizado se hace referencia a este argumento, pero no me queda claro por qué necesitamos la subjetividad, ya que en la prueba de la rigidez de Mostow demostramos que un mapa cuasiconforme a priori es secretamente conforme y que los mapas conformes se inducen mucho más fácilmente mediante isometrías honestas. ¿Podría alguien familiarizado con este argumento explicar por qué necesitamos la subjetividad (suponiendo que la necesitemos)?

Gracias.

Answer 1

Como tú dices, $QI\cong QC$ no es necesario para demostrar la rigidez de Mostow. No sé a qué referencia te refieres, pero la prueba de Gromov (muy popular entre los topólogos) no conduce a este resultado.

Sospecho que se menciona porque existe un programa general para intentar clasificar los grupos de cuasi-isometría de $\delta$ -espacios hiperbólicos, y éste es el ejemplo motivador. En el Apéndice B de El libro de Curt McMullen "Renormalización y 3-manifolds que la fibra sobre el círculo".

Answer 2

No creo que realmente necesites usar la surjetividad explícitamente en el resto de la prueba, pero tampoco necesitas el análisis para probar que la extensión es surjetiva. Puedes usar geometría hiperbólica básica para demostrar que la extensión es inyectiva y continua. Cualquier mapa continuo inyectivo de una esfera a sí misma es necesariamente suryectivo.

Ver "Lectures on hyperbolic geometry" de Benedetti y Petronio o las notas de Thurston para pruebas fáciles de que la extensión es inyectiva y continua.