Distancia máxima de un paseo aleatorio antes de su primer retorno

Question

Es posible que lo siguiente (o al menos una buena aproximación a ello) sea bien conocido, pero no he podido encontrarlo explícitamente:

Dado un recorrido aleatorio (simétrico) sobre $\mathbb{Z}$ empezando en 0. Sea $M$ sea el mayor valor [absoluto] que tomó antes de volver a alcanzar 0. $M$ puede claramente tomar valores arbitrariamente grandes, pero es el valor esperado de $M$ ¿Infinito?

Para hacerlo un poco más formal: dejemos que $X_i$ sean i.i.d. distribuidos uniformemente en $\lbrace \pm 1 \rbrace$ y considerar $S_i = \sum_{i=0}^j X_i$ . Sea $T = \min \lbrace t \geq 1 \mid S_t =0 \rbrace$ . Entonces $M = \max \lbrace |S_j| \mid j \leq T \rbrace$ .

Dado que el valor esperado de $T$ es infinito, esto sugiere que lo mismo podría ocurrir con $M$ .

Answer 1

Una excursión lejos de 0 comienza con paso a $1$ o un paso a $-1$ . Por simetría evidente, basta con considerar el primer caso. Para la r.w. iniciada en $1$ la oportunidad de golpear $n$ antes de $0$ es bien sabido que $1/n$ . Así, $$ P[M\ge n] = 1/n $$ y de hecho $E[M]=+\infty$ .