¿Son lineales las extensiones de grupos lineales?

Question

Un grupo $G$ se dice que es lineal si existe un campo $k$ un número entero $n$ y un homomorfismo inyectivo $\varphi: G \to \text{GL}_n(k).$ Dada una secuencia exacta corta $1 \to K \to G \to Q \to 1$ de grupos en los que $K$ y $Q$ son lineales (sobre el mismo campo), ¿es cierto que $G$ ¿también es lineal?

Antecedentes: Grupos aritméticos son por definición conmensurables con un determinado grupo lineal, por lo que son extensiones finitas de un grupo lineal, y los grupos finitos son claramente lineales (sobre cualquier campo).

Answer 1

La extensión central universal $\widetilde{\text{Sp}_{2n}}\mathbb{Z}$ es la preimagen de $\text{Sp}_{2n}\mathbb{Z}$ en la cubierta universal de $\text{Sp}_{2n}\mathbb{R}$ y encaja en la secuencia

$$1\to \mathbb{Z}\to \widetilde{\text{Sp}_{2n}}\mathbb{Z}\to \text{Sp}_{2n}\mathbb{Z}\to 1.$$

Deligne demostró que $\widetilde{\text{Sp}_{2n}}\mathbb{Z}$ no es residualmente finito; la intersección de todos los subgrupos de índice finito de es $2\mathbb{Z}<\widetilde{\text{Sp}_{2n}}\mathbb{Z}$ . En particular, esto implica que $\widetilde{\text{Sp}_{2n}}\mathbb{Z}$ no es lineal. Pero ciertamente $\mathbb{Z}$ y $\text{Sp}_{2n}\mathbb{Z}$ son. Si quieres un grupo aritmético, puedes tomar el correspondiente $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ -extensión de $\text{Sp}_{2n}\mathbb{Z}$ que no será lineal mientras $k\neq 2$ .

Aprendí la demostración de este teorema de Dave Witte Morris, que ha escrito sus notas, bastante accesibles, como " Una red sin subgrupo libre de torsión de índice finito (según P. Deligne)" ( PDF enlace).

Answer 2

Erschler ha demostrado que existe una extensión central $G$ de $\mathbb{Z} \mathbin{wr} \mathbb{Z}$ por un grupo finito $F$ que no es residualmente finito. Así, la sucesión exacta corta $1 \to F \to G \to \mathbb{Z} \mathbin{wr} \mathbb{Z} \to 1$ es un ejemplo de grupo no lineal que es una extensión de dos grupos lineales sobre $\mathbb{C}$ .

A. Erschler, Grupos no residualmente finitos de crecimiento intermedio, commensurability and non-geometricity, J. Alg. 272 (2004), 154--172.

Answer 3

La cubierta universal $G$ de $SL_2(\mathbb{R})$ no tiene continuo homomorfismo inyectivo en cualquier $GL_n(\mathbb{R})$ . Si tiene una representación fiel en cualquier $GL_n(k)$ es otra cuestión, pero me parece poco probable. Tenga en cuenta que $G$ es una extensión de $\mathbb{Z}$ (lineal según su definición) por $SL_2(\mathbb{R})$ .

Ver wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/SL%E2%82%82%28R%29 para más detalles.

Answer 4

Creo que usted asume implícitamente que $char k$ es fijo, ya que de lo contrario existen contraejemplos triviales: tomemos la suma directa de un número contable de grupos cíclicos de orden $p$ y $q$ . Cada grupo es lineal (pero sobre diferentes $k$ ), pero la suma no.

Supongamos que $k$ se supone que tiene característica cero. Entonces, la respuesta es no. Hay grupos libres de torsión solubles que no son lineales (un grupo lineal soluble es virtualmente nilpotente por abeliano según el teorema de Lie-Kolchin). También hay ejemplos de tales extensiones en las que el grupo $G$ {\bf es} lineal, pero eso está lejos de ser obvio. Por ejemplo, el grupo de automorfismos del grupo libre sobre dos generadores es una extensión del grupo libre (los automorfismos internos) por $SL(2,Z)$ (la abelianización). Ambos grupos son lineales, pero el hecho de que $Aut(F_2)$ es lineal es un teorema difícil.

Answer 5

No lo sé en general, pero esto es ciertamente cierto cuando $Q$ es finito. Si $K$ tiene una representación lineal fiel, es muy fácil ver que la representación inducida de $G$ también es fiel.