¿Existe una explicación intuitiva para una propiedad extrema de los polinomios de Chebyshev?

Question

Consideremos el siguiente problema de optimización:

Problema: encontrar un polinomio mónico $p(x)$ de grado $n$ que minimiza $\max_{x \in [-1,1]} |p(x)|$ .

La solución viene dada por los polinomios de Chebyshev:

Teorema: Sea $T_n(x) = cos (n \cdot cos^{-1} x)$ . Entonces $(1/2^{n-1}) T_n$ es un polinomio mónico de grado $n$ que alcanza el mínimo mencionado.

La prueba de este hecho es breve y sorprendentemente libre de cálculos complicados. A partir de la definición de $T_n$ se obtiene una relación de recurrencia que expresa $T_n$ en términos de $T_{n-1}, T_{n-2}$ lo que demuestra que $T_n$ son efectivamente polinomios. Entonces usted argumenta que $(1/2^{n-1}) T_n$ es mónico y alcanza sus extremos $\pm 1/2^{n-1}$ como mínimo $n+1$ veces en $[-1,1]$ de lo que se deduce fácilmente el teorema anterior. Si quieres una buena exposición de este argumento que no se salta ningún paso, este es corto y claro.

Sin embargo, esta prueba no me ilumina mucho: parece sacada de un sombrero. sombrero. Por ejemplo, no me da ninguna pista sobre qué otros problemas de optimización polinómica tienen soluciones similares.

Mi pregunta: ¿Existe una secuencia natural y motivada de pasos que, partiendo del problema de optimización anterior, conduzca a los polinomios de Chebyshev?

Actualización: He cambiado el título para reflejar mejor la pregunta que hago.

Answer 1

Alex, espero que permitas la opción de que haya explicaciones naturales para los polinomios de Chebyshev que no estén relacionadas con la optimización en $[-1,1]$ . Esto es lo que I es el rasgo característico más natural de esta familia de polinomios.

Teorema (Ritt): Si $F_n(x)$ es una familia de polinomios mónicos con coeficientes en un campo de característica 0 tal que $\deg F_n(x) = n$ y $F_m(F_n(x)) = F_n(F_m(x))$ para todos $m$ y $n$ hasta un simple cambio de variables $F_n(x) = x^n$ para todos $n$ o $F_n(x) = (1/2^{n-1})T_n(x)$ para todos $n$ .

Pruebas: Véase Ritt, "Prime and Composite Polynomials", Trans. Amer. Math. Soc. 23 (1922), 51--66.

Véase también el capítulo "Commuting Polynomials" en Kvant Selecta: Algebra and Analysis Volume II.

El enlace proporcionado en la pregunta original menciona que los polinomios mónicos de Chebyshev conmutan, pero no hace hincapié en que se trata de una propiedad increíblemente especial de los mismos. Lástima.

Answer 2

Intentemos evitar el sombrero.

Consideremos el problema dual (y obviamente equivalente): encontrar el polinomio $p(x):[-1,1]\rightarrow [-1,1]$ de grado $n$ con el mayor coeficiente de adelanto posible. Disponemos de información sobre los valores de $p$ y necesito algo sobre su coeficiente. Probemos la interpolación de Lagrange. Tomemos $n+1$ valores $t_1 < t_2 < \dots < t_{n+1}$ de $[-1,1]$ y anote (para $u(x)=(x-t_1)\dots(x-t_{n+1})$ ) la fórmula $$ p(x)=\sum p(t_i) \frac{u(x)/(x-t_i)}{u'(t_i)}. $$ Entonces eche un vistazo al coeficiente de $x^n$ . Equivale a $$ \sum \frac{p(t_i)}{u'(t_i)}. $$ Sabemos que $|p(t_i)|\leq 1$ por lo que el coeficiente principal no supera $ \sum 1/|u'(t_i)|. $ Vale, ¿cuándo se produce la igualdad? La respuesta es: $p$ deben tomar valores $(-1)^{n-i+1}$ en $t_i$ . Es decir, tenemos que encontrar un polinomio de grado $n$ con $n+1$ valores extremos $\pm 1$ en $[-1,1]$ . Esto sólo es posible si $t_1=-1$ , $t_{n+1}=1$ y $t_2$ , $\dots$ , $t_n$ son raíces de $p'$ . Así que.., $1-p^2(x)$ debe ser divisible por $(1-x^2)p'(x)$ . En este caso, la sustitución trigonométrica $x=\cos t$ , $p=\cos f$ es muy natural, ya que sabemos que $1-f^2$ es divisible por $f'$ para $f=\cos$ . Así que inventamos los polinomios de Chebyshev.

Además, se ve por la fórmula de Lagrange que son extremas en muchos otros problemas con restricciones $|p(x)|\leq 1$ en $[-1,1]$ . Por ejemplo, el valor en cada punto específico $x_0>1$ se maximiza también para el polinomio de Chebyshev, se demuestra exactamente de la misma manera.

Answer 3

Denotemos $\Pi_n$ el espacio vectorial de funciones polinómicas sobre I:=[-1,1] de grado menor o igual que n. El problema de optimización que has citado es equivalente a:

Problema(2): Encuentre $q\in\Pi_{n-1}$ que minimiza la distancia uniforme en I de la función $f(x)=x^n.$

Aunque está claro por compacidad que el Problema(2) tiene solución, no es obvio que la solución sea única, porque la norma uniforme no es uniformemente convexa (la falta de unicidad ya aparece en el problema análogo de la distancia punto-línea en $\mathbb{R}^2$ con la norma max). La magia de los polinomios es que la solución es siempre única, para cualquier función continua $f$ . No sólo eso, sino que Chebyshev también dio una caracterización del minimizador: es el polinomio único $q$ tal que $f(x)-q(x)$ alcanza el valor absoluto máximo en al menos n puntos, con signo alterno. (Los polinomios no son las únicas funciones con esta propiedad; de forma más general, se definen "familias de Haar", que abarcan espacios de dimensión finita análogos al $\Pi_n$ y para ellos el argumento también funciona). Volviendo a tu problema de optimización, tienes que $p(x)$ es el único polinomio mónico con todos los ceros reales simples y que alcanza el máximo valor absoluto con signo alterno entre ceros consecutivos. Con un poco más de trabajo se llega a $T_n/2^{n-1}$ (o, en este momento, uno lo saca del sombrero, pero a estas alturas lo consideraría bastante más justo, y no tendría nada que objetar, sobre todo si el sombrero es el nobilísimo de Pafnuty Lvovich).

PD: Intentando responder a la parte de "psicología de las matemáticas" de tu pregunta (cómo se llega a la $T_n$ del problema de optimización). Una vez reducido el problema al de determinar el polinomio de grado n-ésimo $T$ (digamos con coeficiente principal positivo) que oscila n+1 veces entre su valor máximo 1 y su valor mínimo -1 en el intervalo [-1,1], supongo que muy pronto uno sospecha que los círculos y las funciones trigonométricas andan por ahí (¡no puedo decirlo con seguridad, porque ya sé la respuesta!). Pero si uno calcula los primeros polinomios de este tipo, y mira sus gráficas, parecen claramente curvas sinusoidales dibujadas sobre un cilindro, y en ese momento uno podría recordar de los recuerdos del instituto que cos(nx) es un polinomio trigonométrico de cos(x), y observar que tiene claramente la propiedad buscada.

Answer 4

El polinomio mónico de Chebyshev aparece quizás un poco más naturalmente como minimizador único en la siguiente $L^2$ -problema.

Problema: encontrar un polinomio mónico $P(x)$ de grado $n$ que minimiza la norma ponderada $$\|P\|^2=\int_{-1}^{1}P^2(x)\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}}.$$

La prueba es sencilla. En primer lugar, comprobamos la propiedad de ortogonalidad $$\int_{-1}^{1}T_i(x)T_k(x)\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}}=\delta_{ik}\frac{\pi}{2},\quad i,k=0,1,2,...,$$ que es equivalente a la propiedad de ortogonalidad de la secuencia $\cos kx$ en $L^2(0,\pi)$ . A continuación, tenemos para un polinomio mónico arbitrario de grado $n$ $$P(x)=\sum\limits_{k=1}^n a_kT_k(x),\quad a_n=2^{1-n}.$$ Por lo tanto $$\|P(x)-2^{1-n}T_n(x)\|^2=\|P\|^2+\|2^{1-n}T_n(x)\|^2-2^{2-n}\int_{-1}^{1}\sum\limits_{k=1}^n a_kT_k(x)T_n(x)\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}}= $$ $$=\|P\|^2-\|2^{1-n}T_n(x)\|^2.$$ Así que $\|P\|\geq \|2^{1-n}T_n(x)\|,$ y la igualdad es posible si y sólo si $P(x)=2^{1-n}T_n(x)$ .

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Edición añadida. Por cierto, $2^{1-n}T_n(x)$ minimiza todos los $L^p$ -normas $$\left[\int_{-1}^{1}|P_n(x)|^p\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)}}\right]^{\frac{1}{p}},\quad 1\leq p\leq\infty,$$ sobre polinomios mónicos $P_n(x)$ de grado $n$ . Este libro contiene un estudio de ésta y otras muchas propiedades extremas de los polinomios de Chebyshev.