¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

Question

La imagen del semiplano $\text {Re} (z) + \text {Im} (z) >0$ bajo el mapa $w = \frac {z-1} {z+i}$ viene dado por

$(\text A)$ $|w| > 1$

$(\text B)$ $|w| < 1$

Sea $z = x + iy$ con $x + y >0.$ Entonces descubrí que $$|w| = \frac {\sqrt {\left (x^2 + y^2 - x + y \right )^2 + \left (y - x + 1 \right)^2}} {x^2 + \left (y + 1 \right )^2}.$$

Tomando $z = 1$ tenemos $|w| = 0 <1.$ Así que creo que $(\text B)$ es la opción correcta. Así que sólo tenemos que demostrar que para cualquier $x,y \in \Bbb R$ con $x + y > 0$ $$\sqrt {\left (x^2 + y^2 - x + y \right )^2 + \left (y - x + 1 \right)^2} < x^2 + \left (y + 1 \right )^2.$$

Pero, ¿cómo demostrarlo? Cualquier ayuda en este sentido será muy apreciada.

Muchas gracias por su valioso tiempo.

Answer 1

Utilizando $|z+i|^2=|z|^2+1+2\Re{(-iz)}=|z|^2+1+2\Im z$ y $|z-1|^2=|z|^2+1-2\Re z$ obtenemos $|z+i|^2-|z+1|^2=2(\Re z + \Im z) >0$ en nuestro caso, por lo que $|z+i|^2>|z-1|^2$ o $|w|<1$ ya que obviamente $z \ne -i$ y podemos dividir la desigualdad. ¡Listo!

Answer 2

Para continuar desde donde llegaste, podrías haber intentado

$$\begin{align}&\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}-x+y\right)^{2}+\left(y-x+1\right)^{2}}<x^{2}+\left(y+1\right)^{2} \\ &\iff \left(x^{2}+y^{2}-x+y\right)^{2}+\left(y-x+1\right)^{2}-\left(x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right)^{2}<0 \\ &\iff \left(x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right)\left(\frac{\left(x^{2}+y^{2}-x+y\right)^{2}+\left(y-x+1\right)^{2}-\left(x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right)^{2}}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}\right)<0\tag{*} \\ &\iff \tiny\left(x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right)\left(\frac{\left(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-2x^{3}+2x^{2}y-2xy^{2}+2y^{3}+2x^{2}-4xy+2y^{2}-2x+2y+1\right)-\left(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+4x^{2}y+4y^{3}+2x^{2}+6y^{2}+4y+1\right)}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}\right)<0 \\ &\iff -2\left(x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right)\left(\frac{\left(x^{3}+xy^{2}+2xy+x\right)+\left(x^{2}y+y^{3}+2y^{2}+y\right)}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}\right)<0 \\ &\iff -2\left(x^{2}+\left(y+1\right)^{2}\right)\left(x\cdot\frac{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}+y\cdot\frac{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}{x^{2}+\left(y+1\right)^{2}}\right)<0 \\ &\iff {-2\left(x^{2}+(y+1)^{2}\right)\left(x+y\right)<0} \\ &\iff x+y>0\quad \square \end{align}$$

donde, en $(*)$ utilizamos el ansatz de que el LHS es divisible por $\left(x^{2}+(y+1)^{2}\right)$ .