EDO no lineal de primer orden en $\mathbb{R}^2$

Question

Consideremos el sistema de EDO $$\left\{ \begin{matrix} x' = y^2, & x(0) = x_0\\ y' = x^2, & y(0) = y_0 \end{matrix} \right. $$

donde $x, y :\mathbb{R} \to \mathbb{C}.$ Me pregunto si existe una "fórmula conocida" para la solución de tales sistemas.

Gracias por cualquier información

Answer 1

Este sistema se considera

$$ \dot x = g(y)\\ \dot y = g(x) $$

puede manejarse dividiendo ambas ecuaciones dando

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{g(y)} $$

que es separable

Se adjunta un diagrama de flujo para

$$ \dot x = y^2\\ \dot y = x^2 $$

con una solución típica en rojo

$$ y^3-x^3 = C_0 $$

Answer 2

Puede probar esto $$\frac {dx}{dy}=\frac {y^2}{x^2}$$ $$\implies x^3=y^3+K$$