Hi-
Acabo de ver este hilo. Tal vez debería comentar. La conjetura puede ser vista desde la perspectiva de varias categorías: geométrica, simpléctica, topológica. Dado que el argumento es físico, fue escrito en el contexto más estructurado (geométrico) más estructurado (geométrico), pero también tiene realizaciones también.
Geométrica: es la más difícil y vaga, matemáticamente, ya que la contrapartida geométrica de incluso una teoría de campo conforme es de naturaleza aproximada. Por ejemplo, un modelo SUSY sigma con se cree que se encuentra en la clase de universalidad de una clase de universalidad de una teoría de campos conforme cuando X es CY, pero la métrica CY no da una teoría de campos conforme en la nariz - sólo a un bucle. Del mismo modo, los argumentos sobre crear una teoría de campos conformacional de frontera usando mínima (CFT) + Lagrangiano (SUSY) sólo son válidos para una espira. Para entender cómo se organizan las correcciones, deberíamos comparar con la teoría GW (cerrada), donde las "correcciones" al anillo de proceden de instantones de la lámina del mundo -- holomorfos holomorfos que contribuyen al cálculo con una ponderación igual a la acción exponenciada (área simpléctica). El "recuento" de tales mapas es equivalente por supersimetría a un problema algebraico. algebraico. Ninguna cantidad conocida (ni métrica del espaciotiempo ni potencial de Kahler o aspecto de la estructura compleja) está tan protegida en el caso abierto, con frontera. Por eso se desconoce la forma precisa de las correcciones de los instantones, y por qué la tracción en las líneas geométricas se ha hecho en casos "sin correcciones" (véase el trabajo de Leung, por ejemplo). No obstante, las correcciones deberían adoptar la forma de algunos suma de instantones, con pesos conocidos. Las sumas parecen corresponder a árboles de flujo de Kontsevich-Soibelman/ Moore-Nietzke-Gaiotto/Gross-Siebert, pero ya se me está acabando el tiempo. tiempo.
Topológico: Mark Gross ha demostrado que el toro dual se compacta para producir la variedad espejo.
Simpléctica: Wei Dong Ruan tiene varios preprints que que abordan las fibraciones lagrangianas duales del toro, que a la misma conclusión que Gross (arriba). No sé mucho más que eso.
También-
El tratamiento de Auroux discute el Lagrangiano dual la fibración del toro (incluso la escoria dual, bien entendida) para las variedades tóricas de Fano, y produce la teoría especular de Landau-Ginzburg (con superpotencial).
Con Fang-Liu-Treumann, hemos utilizado las fibraciones T-duales de la misma fibración para mapear láminas holomorfas a submanifolds lagrangianos, demostrando una versión equivariante de la de simetría homológica especular para variedades tóricas. (Hay muchos otros trabajos con resultados similares de Seidel, Abouzaid, Ueda, Yamazaki, Bondal, Auroux, Katzarkov, Orlov ¡perdón por la visión sesgada!)
Invirtiendo los papeles de los modelos A y B, Chan-Leung relacionan la cohomología cuántica de un Fano tórico con el anillo anillo jacobiano del superpotencial espejo a través de la dualidad T.
¿Ayuda o estorbo?
