Estoy intentando demostrar lo siguiente:
Sea $g \in C[-1,1]$. Entonces la función $$G(z) = \int_{-1}^1 e^{itz}g(t)dt$$ tiene infinitas raíces.
Sé que $G(z)$ es entera y $\lim_{x \to \pm \infty} G(x) = 0$. He intentado lo siguiente. Supongamos lo contrario, es decir, que $G(z)$ tiene solo $n \in \mathbb{N}$ raíces. Entonces podemos escribirlo como $$G(z) = e^{h(z)}P(z)$$ donde $P(z)$ es un polinomio de grado $n$ y $h(z)$ es entera. El límite anterior implica que $h(x) + \log |P(x)| \to -\infty$, es decir, que $h(x) \to -\infty$ (en el eje real) más rápido que alguna función logarítmica positiva asintóticamente.
Desafortunadamente, lo anterior no parece resolver el problema, o al menos no sé cómo continuar.
Pidiendo su guía.
EDITAR: Otros pensamientos fueron:
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Aproximar $g(t)$ con una función escalonada $h_n(t)$ con $2^n$ pasos. Definir $H_n(z)$ como la transformada de $h_n(t)$, mostrar que $|G(z) - H_n(z)| < |H_n(z)|$ y aplicar el teorema de Rouche. Un problema es que $H_n(z)$ también es pequeño en el límite, y incluso si pudiera probar la desigualdad, aún no está claro cómo sigue la infinitud de ceros para $G(z)$.
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Mostrar que $G(z)$ es de orden fraccionario y aplicar el teorema de Hadamard. Esto es claramente falso ya que puedo demostrar que el orden de $G(z)$ está acotado por $1$ desde arriba, y, al menos para algunos $g(t)$, se alcanza el límite.