Problema de Putnam A-1 2008 Función de 3 variables

Question

Miré un problema de Putnam de 2008, aquí está: Enlace Putnam

" Deja $f : R^2 R$ sea una función tal que $f(x, y)+ f(y,z)+ f(z, x) = 0$ para todos los números reales $x, y, z$ . Demostrar que existe una función $g : R R$ tal que $f(x, y) = g(x)g(y)$ para todos los números reales $x, y$ ."

Aquí está Su solución.

Mi solución:

Desde $f(x,y) + f(y,z) + f(z, x) = 0$ lo sabemos:

$z + x + y = 0$ de ahí $z = x - y$

Lo que significa: $f(x,y)= x - y$

La única función que se ajusta $g(t) = t$

Hemos "demostrado" que existe una función porque hemos encontrado una función.

¿Sería esto correcto?

Answer 1

La consecuencia más sencilla de la ecuación funcional es que $\forall x\in\mathbb{R}$ tenemos $$ f(x,x)=0 $$ así que $\forall x,y\in\mathbb{R}$ $$ f(x,y)=-f(y,x) $$ y de $$ f(x,0) + f(0,y)+ f(y,x) =0 $$ deducimos: $$ f(x,y) = f(x,0)+f(0,y) \\ = f(x,0)-f(y,0) $$ que tiene la forma requerida, estableciendo $g(x)=f(x,0)$