Topología de $GL_n(F)$ para un campo discreto.

Question

Es $GL_n(F)$ el conjunto de matrices invertibles abiertas en $\mathbb M_n(F)$ para cada campo $F$ ? Creo que no porque la prueba se basa en el hecho de que el determinante es continuo así que como $F-0$ está abierto en $F$ su preimagen $GL_n(F)$ debe estar abierto en $\mathbb M_n(F)$ Ahora bien, ¿y si el campo $F$ era discreto, en este caso $F-0$ no está abierto ya que $\{0\}$ no está cerrado en $F$ ?

Answer 1

Si $F$ es cualquier Campo topológico de Hausdorff la topología natural de $\mathrm{Mat}_n(F)$ para cualquier $n$ no es más que la topología del producto identificándola (mediante cualquier elección del orden de las entradas) con $F^{n^2}$ . Entonces $\mathrm{GL}_n(F)$ se identifica con el subconjunto de $F^{n^2}$ donde el determinante $\det$ (un polinomio en las entradas de la matriz) es distinto de cero. Dado que las funciones polinómicas sobre $F^{n^2}$ son continuas (porque $F$ es un campo topológico), el conjunto $\det^{-1}(F\setminus\{0\})$ está abierto (porque $F$ es Hausdorff, $F\setminus\{0\}$ está abierto). Así pues $\mathrm{GL}_n(F)$ es un subconjunto abierto de $\mathrm{Mat}_n(F)$ .

Cualquier campo con la topología discreta es un campo topológico de Hausdorff, así que la respuesta a esa parte de tu pregunta es sí. Sin poner una topología en $F$ no tiene sentido preguntarse si $\mathrm{GL}_n(F)$ está abierto en todo.