$O_P(1) o_P(1) = o_P(1)$

Question

Hay algo escrito en el libro "Mathematische statistiek" de van der Vaart que no veo:

" es la abreviatura de: si $X_n$ está acotada en probabilidad y $Y_n \rightarrow^P 0$ entonces $X_nY_n\rightarrow^P 0$ . Si $X_n$ también convergerían en distribución, esto sería el lema de Slutsky (con $c=0$ ). Pero por el teorema de Prohorov $X_n$ converge en distribución 'a lo largo de subsecuencias' si está acotada en probabilidad, de modo que esta regla aún puede deducirse argumentando 'a lo largo de subsecuencias'".

Ahora alguna subsecuencia $X_{n_j}$ converge en distribución y $Y_{n_j}$ converge en probabilidad a $0$ Así que $X_{n_j}Y_{n_j}$ converge en distribución a $0$ (Slutsky). Creo que no podemos concluir que también $X_nY_n$ converge a $0$ en la distribución. Pero van der Vaart piensa de otra manera. ¿Alguien puede decir lo que probablemente piensa?

Answer 1

Sea $Z_n:=X_nY_n$ . Podemos demostrar que para cualquier subsecuencia $\left(Z_{n_k}\right)_{k\geqslant 1}$ existe otra subsecuencia que va a $0$ en la distribución. Esto demuestra que $Z_n\to 0$ en la distribución. De lo contrario, existiría una $\varepsilon$ , $\delta$ y $n_j\uparrow \infty$ tal que $\mathbb P\left(\left|Z_{n_j}\right|\gt\varepsilon\right)\geqslant\delta$ para todos $j$ y extrayendo otra subsecuencia se llega a una contradicción.