Demuestre que los subespacios (vectoriales) de $\mathbb{A}^n$ son conjuntos algebraicos

Question

Acabo de empezar a aprender algo de geometría algebraica y hay un enunciado en los apuntes que estoy siguiendo que no entiendo: "Espacios subvectores de $\mathbb{A}^n$ son conjuntos algebraicos. Son de la forma $Z(f_1,\ldots,f_n)$ donde $f_i$ son polinomios de grado 1". (de las notas de Lothar Goettsche: http://users.ictp.it/~gottsche/ )

Mi problema con esta afirmación es el siguiente: Para cada punto $a =(a_1,\ldots, a_n)$ en $A^n$ puedo dar un juego $S$ de polinomios tales que su conjunto cero común ist $\{a\}$ : $S = \{x_1-a_1, \ldots, x_n - a_n\}$ . ¿Pero cómo puedo encontrar un conjunto de polinomios que desaparezcan en todo un espacio vectorial? Por supuesto, se puede tomar el polinomio cero, pero que no sería de grado uno?

Gracias por los consejos

marco de lectura

Answer 1

Un subespacio vectorial es una intersección de hiperplanos. Cada hiperplano es el conjunto cero de una forma lineal (por tanto, un polinomio de grado 1). El conjunto cero común de todas estas formas lineales (que por definición es un conjunto algebraico) es tu subespacio vectorial.