Hartshorne señala que es un misterio por qué la condición algebraica de planitud en las estructuras de las láminas da una buena definición de familia (véase más adelante). ¿Se conoce alguna explicación esclarecedora que sirva para desentrañar este misterio? A continuación se presenta la motivación introductoria de Hartshorne a las familias planas que contiene dicha observación:
Por muchas razones es importante tener una buena noción de una algebraica de variedades o esquemas. La definición más ingenua sería simplemente tomar las fibras de un morfismo. Sin embargo, para tener una buena noción, deberíamos requerir que ciertos invariantes numéricos permanezcan constantes en una familia, como como la dimensión de las fibras. Resulta que si estamos tratando con no singulares (o incluso normales) sobre un campo, entonces la definición ingenua es una buena definición. Prueba de ello es el teorema (9.13) de que en tal familia familia, el género aritmético es constante.
Por otro lado, si tratamos con variedades no normales, o mor esquemas más generales, la definición ingenua no servirá. Así que consideraremos una familia plana de esquemas, es decir, las fibras de un morfismo plano, lo cual es una noción noción. ¿Por qué la condición algebraica de planitud en la estructura de láminas da una buena definición de familia es un misterio. Pero Pero al menos justificaremos esta elección mostrando que las familias planas tienen muchas buenas propiedades, y dando condiciones necesarias y suficientes para la en algunos casos especiales. En particular, demostraremos que una familia de subesquemas cerrados del espacio proyectivo (sobre un esquema integral) es plana si y sólo si los polinomios de Hilbert de las fibras son iguales. -- Hartshorne, Algebraic Geometry, 1977, III.9.5, p. 256
