¿Existe una conexión $k$ -esquema de grupo $G$ tal que $G_{red}$ no es un subgrupo?

Question

He estado intentando aprender un poco más sobre esquemas de grupo trabajando con una serie de ejercicios en el sitio web de Brian Conrad. Ejercicio 8.3 de http://math.stanford.edu/~conrad/papers/gpschemehw1.pdf lee:

Si $k$ es un campo perfecto y $G$ es un tipo localmente finito $k$ -demostrar que $G_{red}$ es una $k$ -subgrupo de $G$ . ¿Puede encontrar un contraejemplo si $k$ ¿No es perfecto? (Hay una tercera parte de la pregunta, pero es irrelevante aquí)

Intentaré no desvelar demasiado en beneficio de otros que quieran utilizar estos ejercicios, pero la primera parte del ejercicio es el Lemma 7.10 de http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/groupoids.pdf en el proyecto de pilas de DeJong y la pista dada para la prueba omitida es que $G_{red}\times_k G_{red}$ se reduce si $k$ es perfecto.

Para la parte del contraejemplo, fui capaz de encontrar un ejemplo desconectado sobre cualquier campo imperfecto, pero realmente parecía depender crucialmente de ser desconectado.

Esto sugiere naturalmente la pregunta:

Si $G_{red}$ no es un esquema de subgrupos de $G$ debe $G$ ¿se desconecte?

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edit: Después de casi una semana fuera se dio una respuesta en el caso de la dimensión cero y luego se retractó, pero no ha habido mucha acción por lo demás. Tal vez esto es un problema abierto si $G$ no es finito.

Para cualquier esquema de grupo finito $H$ , $H_{red}$ es un subgrupo de $H$ sólo si $H/H^0$ es un subgrupo de $H$ (y de hecho si $k$ es perfecto, $H \cong H^0 \oplus H_{red}$ Ver Notas de Pink Lectura 6- tenga en cuenta que esto depende muy explícitamente de $H$ siendo finito)

Para los esquemas de grupo de tipo localmente finito (como suponemos aquí) se ha hecho mucho, por ejemplo en SGA 3 donde demuestran entre otras cosas que si $G$ es conexo, en realidad es cuasicompacto y, por tanto, de tipo finito (Proposición 2.4). Además, para un grupo de tipo localmente finito $H$ sobre un campo, $(H^0)_{red}$ es un grupo en la categoría de regímenes reducidos . Lo que no está claro es si creían que era un grupo de la categoría de esquemas pero no fueron capaces de demostrarlo o si conocían un contraejemplo pero no lo incluyeron.

Answer 1

La nueva edición de SGA3 de Philippe Gille et Patrick Polo ofrece un ejemplo conectado debido a Raynaud. Se encuentra en SGA3 Exposé VIA Exemples 1.3.2 (2) y puede encontrarlo en http://www.math.jussieu.fr/~polo/SGA3/Exp6A-23mai11.pdf .

Este ejemplo es $2$ -dimensional, pero es fácil modificarlo para obtener un $1$ -dimensional si la característica del campo base es al menos $3$ . Más concretamente, dejemos que $G$ definirse mediante las ecuaciones $X^p-tY^p=Y^p-tZ^p=0$ en el grupo aditivo $\mathbb{G}_a^3$ sobre el campo $\mathbb{F}_p(t)$ , $p\neq 2$ . Entonces $G$ es un esquema de grupo conexo de dimensión $1$ cuya reducción no es un esquema de subgrupos, como puede verse siguiendo paso a paso los argumentos de loc. cit.