A continuación se ofrece una descripción bastante prolija del caso especial en que la singularidad es, en el peor de los casos, un punto aislado. Sospecho que todo esto ya lo sabes. La magia viene al final (ver el párrafo que empieza con "Aquí está el truco crítico"). No sé si es lo mismo que le da a Schoen-Uhlenbeck el empuje extra o no.
Conozco tres aplicaciones: Hipersuperficies mínimas, conexiones Yang-Mills autoduales y variedades de Einstein. El teoría de la regularidad descrita a continuación se utiliza tanto para una convergencia teorema excepto posiblemente un número finito de puntos y un desmontable. Estos teoremas se utilizan a continuación para establecer la llamado fenómeno de burbujeo. La historia que sigue se aplica a estos dos últimos Los detalles para las hipersuperficies mínimas son ligeramente diferentes.
Supongamos por comodidad que en una $n$ -dimensional completa, donde $n > 2$ . Denotemos el Laplaciano de funciones y tensores por $\Delta = g^{ij}\nabla_i\nabla_j$ .
Denote el $L_p$ norma de una función o tensor $u$ con respecto al métrica riemanniana por $\|u\|_p$ .
A lo largo de la discusión a continuación nos limitaremos a una bola geodésica $B(x, r)$ y supongamos que se cumple la siguiente desigualdad de Sobolev para una constante fija $C_S$ y cualquier función suave $u$ soporte compacto en $B$ : $$ \|\nabla u\|_2 \ge C_S\|u\|_{2n/(n-2)}. $$
Primero, considera la desigualdad elíptica escalar $-\Delta u \le bu$ , donde $b$ puede considerarse como una función potencial dada. Utilizando Moser demuestras que si
$$ \|b\|_{q/2}, \|u\|_p < C, $$
donde $q > n$ para algunos $p > 1$ en $B(x,r)$ existe un límite para $\|u\|_\infty$ digamos, $B(x,r/2)$ .
En segundo lugar, se utiliza la iteración de Moser para demostrar que si $ \|b\|_{n/2} $ es suficientemente pequeño (depende de $C_S$ ) en $B(x,r)$ existe un límite para $\|u\|_{q/2}$ para algunos $q > n$ en $B(x,r/2)$ .
Combinando las dos primeras se demuestra que si $u$ satisface $-\Delta u \le cu^2$ y $ \|u\|_ {n/2} $ es suficientemente pequeño en $ B(x,r) $ entonces hay existe un límite para $ \|u\|_\infty $ en $ B(x,r/2) $ .
En cada aplicación existe un tensor de curvatura $F$ que satisfaga un PDE de la forma $$ -\Delta F = Q(F), $$ donde $Q$ depende cuadráticamente de $F$ . Además, existe una teorema de convergencia cuando existe un límite puntual uniforme en $ F $ (para las variedades de Einstein se utiliza el teorema de convergencia de Cheeger-Gromov). Aplicando los resultados anteriores a $u = |F|$ utilizando revestimientos con bolas cada vez más pequeñas conduce a un teorema de convergencia cuando existe una límite uniforme en $ \|F\|_ {n/2} $ donde la convergencia puede fallar en sólo un número finito de puntos (donde en el límite hay demasiada $ \|F\|_{n/2} $ para que se cumplan las estimaciones anteriores).
Ahora quieres estudiar el objeto límite cerca de cada punto de singularidad. Si sigues de cerca la dependencia de $r$ en el estimaciones anteriores, lo mejor que se puede hacer es un límite de $F$ que explota como $r^{-2}$ donde $r$ es la distancia a la singularidad. Esta distancia no es suficiente para eliminar la singularidad, por lo que es necesario utilizar más de la PDE elíptica anterior.
Aquí está el truco crítico: Al hacer la iteración de Moser en $u = |F|$ , se utiliza la desigualdad estándar de Cauchy-Schwarz para obtener la siguiente desigualdad puntual: $$ |F\cdot\nabla F| \le |F||\nabla F| $$ Pero en todas las aplicaciones, tiene información adicional sobre $F$ y su derivada covariante. En particular, $F$ y/o su derivada covariante tienen ciertas simetrías, que permiten demostrar un límite puntual de la forma $$ |F\cdot\nabla F| \le c|F||\nabla F|, $$ donde $c < 1$ . Esta mejora, cuando se utiliza con la iteración de Moser, permite demostrar que $F$ explota más lentamente que $r^{-2}$ . Iterando esta mejora conduce a un límite puntual uniforme en $F$ que a su vez permite eliminar la singularidad mediante un argumento geométrico ODE.
El teorema de la singularidad extraíble permite analizar tanto la objeto límite con las burbujas eliminadas como las propias burbujas.
AÑADIDO: No puedo resistirme a añadir una anécdota a esto: Justo después de aprender el truco del párrafo anterior de un artículo de Schoen-Simon-Yau, fui al despacho de un colega para enseñárselo. Resulta que Eli Stein estaba allí, y exclamó: "¡Pero si está en mi libro!". Y así es. Lo encontrarás muy bien presentado en VII.3.1 "A subharmonic property of the gradient" del libro de Stein de 1970, "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions". Es obvio que S-S-Y no lo sabían o lo olvidaron, porque su demostración es mucho más complicada que la de Stein.
