El grupo simétrico más grande contenido en el grupo alterno

Question

Sé que por $n \geq 3$ el grupo alterno $A_n$ contiene un subgrupo que es isomorfo a $S_{n-2}$ a saber $$ \langle \{(i \;i+1)(n-1 \;n):1 \leq i \leq n-3\} \rangle. $$ Me preguntaba cuál es el grupo simétrico más grande contenido en $A_n$ . Obviamente $S_n$ es demasiado grande, así que estaba examinando $S_{n-1}$ :

Supongamos que $A_n$ tiene un subgrupo $H \cong S_{n-1}$ . El Teorema de Largange implica que $$|A_n|/|H|= \frac {n!/2}{n!/n}=n/2 $$ debe ser un número entero, así que $n$ tiene que ser parejo. Se sabe que $A_4$ no tiene subgrupos de orden 6, así que la respuesta es negativa para $n=4$ también.

Mi pregunta es, ¿hay un número $n$ de tal manera que $A_n$ tiene un subgrupo $ \cong S_{n-1}$ ? (mi trabajo muestra que $n \geq 6$ y es necesariamente parejo).

¡Gracias!

Answer 1

La respuesta a su pregunta es no (excepto en el caso trivial $n = 2$ ).

Ya se ha ocupado de los casos en los que $n \leq 4$ . Ahora si $n \geq 5$ Entonces $A_n$ es simple.

Por lo tanto, si en este caso $A_n$ tiene un subgrupo $H$ del índice $n/2$ entonces la acción en los cosets de $H$ te da un homomorfismo inyectable $A_n \rightarrow S_{n/2}$ . Esto es una contradicción porque $(n/2)! < \frac {n!}{2}$ .