Una combinación lineal $ax + by$ se llama cónico(al) si $a, b \ge 0$ (véase la sección 2.1.5 de Boyd, Vandenberghe ). Es decir, las combinaciones cónicas(al) no son más que combinaciones lineales en las que los coeficientes están restringidos a ser no negativos.
Aquí estoy tratando el espacio de $2 \times 2$ Matrices PSD hermitianas (complejas) como a real espacio vectorial (es decir, los escalares son real números, por lo que decir coeficientes es $\ge 0$ tiene sentido).
Pregunta: ¿Puede escribirse toda matriz PSD (semidefinida positiva) hermitiana como la combinación cónica de matrices PSD hermitianas de rango 1? Si es así, ¿hay alguna referencia o un argumento sencillo?
Intento: Bajo esta premisa, y mediante ensayo y error, creo que lo siguiente podría ser un conjunto mínimo de spanning para el $2 \times 2$ cono complejo Hermitiano PSD. Parece que ninguno de ellos puede escribirse como cónica combinaciones entre sí (aunque sean linealmente dependiente), por lo que todo lo que habría que demostrar es que cada matriz PSD puede escribirse como una combinación cónica de estas seis matrices.
$$ (A) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
$$ (B) \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
$$ (C) \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$
$$ (D) \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$
$$ (E) \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$$
$$ (F) \begin{bmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{bmatrix}$$
Obsérvese que una base lineal para matrices hermitianas debería haber $n^2 = 4$ elementos mientras que el anterior tiene $2n^2 - n$ elementos. Esto se refleja en cómo el conjunto anterior es linealmente dependiente, por ejemplo (C) = -(D) + 2(A) + 2(B), y (E) = -(F) + 2(A) + 2(B). Pero es evidente que ninguna de ellas es cónico(al) combinaciones.
Obviamente, ser linealmente independiente implica también ser cónicamente independiente. Así que para demostrar que el conjunto anterior es mínimo (suponiendo que cada matriz PSD se puede escribir como una combinación cónica de ellas) es necesario demostrar que (D) y (F) no se pueden escribir como combinaciones cónicas(al) de (A), (B), (C), (E), y/o que (C) y (E) no se pueden escribir como combinaciones cónicas(al) de (A), (B), (D), (F).
Esto podría deducirse de cómo (A), (B), (C), (E) forman una base para matrices hermitianas, al igual que (A), (B), (D), (F), y así por unicidad de combinaciones lineales con respecto a una base, por ejemplo, (C) = -(D) + 2(A) + 2(B) es el único manera de escribir (C) como combinación lineal de (A), (B), (D), (E) o (A), (B), (D), (F), no es una combinación cónica(al), por lo que no existe tal combinación cónica(al)?
De todas formas como se ha insinuado anteriormente, no es difícil generalizar esto a la $n \times n$ caso, me encantaría conocer también su opinión al respecto. En este momento estoy tratando de entender "el qubit", por lo que $2 \times 2$ caso me basta.
Pregunta relacionada sobre conjuntos mínimos de combinaciones cónicas(al)
