Existencia de una cubierta universal de una variedad.

Question

Supongamos que $M$ es un colector, topológico o liso, etc. Como espacio topológico $M$ se requiere que sea principalmente localmente homeomorfo a $\Bbb R^n$ con algunas cosas añadidas que no vienen con esto, como una condición global Hausdorff mencionado aquí segunda contabilidad o paracompacidad, etc.

Principalmente parece que se trata de descartar ciertos ejemplos patológicos, o de simplificar las pruebas, en lugar de decir "Dejemos que ". $M$ sea un Hausdorff, Segundo contable, Múltiple $\ldots$ siempre.

Desde la topología algebraica la existencia de un espacio de cobertura universal de un espacio topológico $X$ , necesario $X$ estar conectada, localmente conectada por trayectoria y semilocalemente conectada. En el curso que hice dijimos "conectado por trayectoria", "conectado localmente por trayectoria" y "semilocalmente simplemente conectado". Creo que son equivalentes.

Mi pregunta es: Para un $M$ un colector, hace $M$ satisfacen el criterio de existencia?

¿O debería exigir específicamente que $M$ es un conectado y parecería que localmente conectado y semi localmente simplemente conectado provienen de la gráficos u homeomorfismos locales a $\Bbb R^n$ .

Answer 1

Tienes razón. Dado que cada punto de una múltiple tiene una vecindad homeomórfica a algún espacio euclidiano, cualquier múltiple es localmente contractible lo que implica que es a la vez localmente conexa y localmente conexa simple. Por tanto, si restringimos nuestra atención a las variedades conectadas (que es lo que solemos hacer), vemos que todas las variedades admiten cubiertas universales (y éstas también son variedades).