Hace poco hice una pregunta sobre cómo encontrar el valor de $\sin(\pi/18)$ y entiendo que no hay expresión para $\sin(\pi/18)$ que utiliza las operaciones aritméticas ordinarias. pero sé que tenemos valor exacto por radicales anidados. Quiero saber cómo obtenemos este valor ? 
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Teorema 1: Para $a_1=\sqrt a$ , $a_2=\sqrt{a-\sqrt{a}}, a_3=\sqrt{a-\sqrt{a+\sqrt a}},\ldots,$ Tenemos $a_n$ como $$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac {A-1}6+\frac 23\sqrt{4a+A}\sin\left(\frac 13\arctan\frac {2A+1}{3\sqrt3}\right)\tag1$$ donde $A=\sqrt{4a-7}$ .
Prueba: Les presento la demostración del teorema.
Comience con $$x^2=y+a,\qquad y^2=z+a\qquad z^2=x+a\tag{2.1}$$
A continuación, podemos factorizar el $8$ polinomio de grado en factores $$x^3+\frac 12x^2\left\{1+\sqrt{4a-7}\right\}-\frac 12x\left\{2a+1-\sqrt{4a-7}\right\}+\frac 12\left\{a-2-a\sqrt{4a-7}\right\}\tag{2.2}$$ y $$x^3+\frac 12x^2\left\{1-\sqrt{4a-7}\right\}-\frac 12x\left\{2a+1+\sqrt{4a-7}\right\}+\frac 12\left\{a-2+a\sqrt{4a-7}\right\}\tag{2.3}$$ . Para abreviar, podemos dejar que $A=\sqrt{4a-7}$ y utilizar la identidad $$\sin^3\theta-\frac 34\sin\theta+\frac 14\sin3\theta=0$$
Consideramos en primer lugar $(2.2)$ . Sustituyendo $x=s-\frac {A+1}{6}$ y recordando que $A^2=4a-7$ encontramos que $$s^3+\left(\frac {A-4a}3\right)s+\frac {12a-14-A-8Aa}{27}=0\tag{2.4}$$
Y del mismo modo, fijar $x=s-\frac {1-A}6$ en $(2.3)$ obtenemos $$s^3+\left(\frac {-A-4a}3\right)s+\frac {12a-14+A+8Aa}{27}=0\tag{2.5}$$ Que es lo mismo que $(2.4)$ pero con $A$ sustituido por $-A$ . A continuación, ajuste $s=\frac 23t\sqrt{4a-A}$ y $s=\frac 23t\sqrt{4a+A}$ en $(2.4)$ y $(2.5)$ respectivamente, deducimos $$\begin{align*} & t^3-\frac 34t+\frac {12a-14-A-8Aa}{8(4a-A)^{3/2}}=0\\ & t^3-\frac 34t+\frac {12a-14+A+8Aa}{8(4a+A)^{3/2}}=0\end{align*}\tag{2.6}$$ Configuración $t=\sin\theta$ y utilizando la identidad, obtenemos las soluciones de $(2.6)$ . Simplificando y simplificando más, obtenemos Teorema 1 .
Simplemente enchufando $a=2$ te da $2\sin\frac {\pi}{18}$ y dividiendo ambos lados por dos, se obtiene la primera ecuación. $$\frac 12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\ldots}}}}=\sin\frac {\pi}{18}\tag3$$
Sivakumar Krishnamoorthi
Puntos
8
Derivación $\sin\frac{\pi}{18}$ será más sencillo cuando apliquemos la fórmula del coseno de medio ángulo $$2\sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{2-2\cos\theta}$$ $$2\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{2+2\cos\theta}$$
y la identidad del ángulo coseno
$$2\cos(\pi-\theta) = -2\cos\theta$$
Podemos deducir lo siguiente $2\sin(\frac{\pi}{18})$ = $\sqrt{2-2\cos(\frac{\pi}{9})}$ = $\sqrt{2-\sqrt{2+2\cos(\frac{2\pi}{9}})}$ = $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos(\frac{4\pi}{9}}})}$ = $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos(\frac{8\pi}{9}}}})}$ = $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-2\cos(\frac{\pi}{9}}}})}$
Ahora puede observar $2\cos(\frac{\pi}{9})$ se repite en ciclo infinito
$$\therefore 2\sin\frac{\pi}{18} = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$$ $[-++]$ es el patrón de repetición en infinito radical anidado. Consulte aquí . ¡Bienvenido al mundo de las raíces cuadradas de 2 anidadas infinitas como solución a los ángulos cosenos!
