Encontrar todos los polinomios cuadráticos $f(x),g(x)$ $h(x)$ tales que el polinomio $f(g(h(x)))=0$ tiene raíces $1,2,3,4,5,6,7$$8$.
No sé qué hacer. Haciendo un $8$ grado de la ecuación es bastante tedioso. Gracias.
Respuestas
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Para cualquiera de los dos distintos números de $r_1, r_2$, no es una ecuación cuadrática $f$ con estas raíces, y de hecho el general, $f$ $a (x - r_1)(x - r_2)$ donde $a$ es una constante distinto de cero. Así que ahora que usted desea $g(h(x))$ a tomar el valor $r_1$ en cuatro de $1,2,\ldots,8$ $r_2$ en los otros cuatro. Ahora, las cuatro $x$'s (vamos a decir $x_1, \ldots, x_4$) para que $g(h(x)) = r_1$ debe corresponder a dos diferentes valores de $h$, decir $s_1, s_2$ con $g(s_1) = g(s_2) = r_1$, $h(x_1) = h(x_2) = s_1$ y $h(x_3) = h(x_4) = s_2$; del mismo modo los cuatro $x$s '( $x_5$ $x_8$) para que $g(h(x)) = r_2$ debe corresponder a otros dos valores de $h$, con $h(x_5) = h(x_6) = s_3$, $h(x_7) = h(x_8) = s_4$, $g(s_3) = g(s_4) =r_2$. Ahora dos puntos en los que una ecuación cuadrática tiene el mismo valor debe ser simétrica con respecto al punto crítico de la ecuación cuadrática. Por lo tanto $x_1 + x_2 = x_3 + x_4 = x_5 + x_6 = x_7 + x_8$.
Pero $x_1, x_2, \ldots, x_8$ debe $1,2,\ldots, 8$ en un cierto orden. La única manera de dividir $1,2,\ldots,8$ en parejas con la misma suma es $(1,8), (2,7), (3,6), (4,5)$. Así que vamos a decir $x_1 = 1$$x_2 = 8$. Por lo tanto $h(x) = a (x - 9/2)^2$ para algunas constantes $a$, con lo que $h(1)=h(8) = 49 a/4$, $h(2) = h(7) = 25a/4$, $h(3) = h(6) = 9a/4$, $h(4)=h(5) = a/4$. Pero esos cuatro valores no se pueden dividir en dos pares con la misma suma. Así que el problema (suponiendo que estás pidiendo no constantes cuadráticas) no tiene solución. Por supuesto, hay un montón de soluciones donde $f$, $g$ o $h$ es constante.
Está usted seguro de que no desea que las raíces a ser, es decir, $1,2,5,8,10,13,16,17$?
Ataulfo
Puntos
3108
El polinomio $$F(x)=\prod_{1\le k\le 8}(x-k)$$ tiene una derivada igual a $$4(2x-9)(x^6-27x^5+288x^4-1539x^3+4299x^2-5886x+3044)$ $ , donde el segundo de 6 grados factor es irreductible (comprobar esto, por ejemplo, en WolframAlpha).
Por lo tanto, si $F(x)=f(g(h(x)))$ $$F'(x)=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x)$$ which is a contradiction because $F'(x)$ es un producto de sólo dos factores irreducibles.
