Estaba interesado en poner una métrica completa en el espacio de curvas de Jordan. Es decir, sólo las curvas planas de Jordan contenidas en $B(\bar{0}, 2) \backslash B(\bar{0}, 1)$ que separa $\bar{0}$ y el infinito.
Como podemos ver, la métrica estándar de Hausdorff no sirve, por ejemplo podemos tener una secuencia de Cauchy de curvas de Jordan con "dedos" cada vez más finos, el límite es un círculo con un pico, por lo tanto no es una curva de Jordan. (véase la figura siguiente)
Por lo tanto, en cierto sentido, la métrica no sólo tiene que "ver" la curva, sino también lo que ésta encierra. He buscado un poco en la literatura y no he encontrado nada... ¿Alguien conoce una métrica así? ¿Alguna idea?
Un intento mío de construir la métrica:
En primer lugar, podemos considerar el plano como la esfera de Riemann, de modo que nuestro espacio no es más que el conjunto de curvas de Jordan que separa el disco unitario alrededor del polo norte y el que rodea el polo sur. Para cada curva tenemos (hasta un automorfismo de Mobius del disco) dos mapas de Riemann desde el disco unitario estándar hasta los hemisferios Norte y Sur separados por la curva.
Define la distancia entre dos curvas como la distancia mínima entre el par de "mapas de Riemann del hemisferio norte", más el del hemisferio sur. Es fácil comprobar que esto da una métrica. En nuestro caso del "dedo", la $ \{ C_n \} $ no es Cauchy en nuestra métrica (porque el mapa de Riemann cartografiará cada vez menos parte del disco dentro del dedo por lo que hay una subsecuencia de distancia dedo-longitud aparte).
Creo firmemente que esta métrica es completa, pero no encuentro un buen argumento.
Lo que se puede hacer es, dada una secuencia de Cauchy de curvas de Jordan bajo la métrica anterior, elegir un par de mapas de Riemann que minimicen la distancia para cada curva (tales cosas siempre existen por un simple argumento de compacidad) y luego aplicar Carathéodory, todos los mapas de Riemann se extienden a la homeo en el límite, por lo que podemos tomar el límite puntual del mapa del límite. Hagamos lo mismo tanto para el hemisferio norte como para el hemisferio sur. Todo lo que necesitamos demostrar es que este límite sigue siendo inyectivo. (Creo que debería serlo porque si no, el Norte o el Sur tendrán un "cuello" infinitamente delgado, por lo que los mapas de Riemann en esa mitad no serán Cauchy).
Me he topado con muchas dificultades topológicas al intentar argumentar esto (principalmente porque no sabemos nada de la curva límite y puede ser realmente complicada)... Cualquier idea sobre cómo se podría hacer esto sería muy apreciada. :-P
Figura mi comentario sobre la respuesta del profesor Thurston:
---Un caso sencillo para ilustrar que los dos mapas de Riemann no coinciden en el ecuador. Es decir, las líneas radiales en el hemisferio norte no 'quieren' pasar por el tubo delgado y aterrizar en la punta, pero a las líneas radiales en el hemisferio sur no les importa. Por lo tanto, la imagen previa del arco negro será muy corta en el disco del Norte, pero normal en el disco del Sur. Sin embargo, existe por supuesto una homeo $h$ en el límite para pegarlos. Sin embargo, no sé cómo eso daría un homeo de la esfera a sí mismo.