¿Métrica completa en el espacio de curvas de Jordan?

Question

Estaba interesado en poner una métrica completa en el espacio de curvas de Jordan. Es decir, sólo las curvas planas de Jordan contenidas en $B(\bar{0}, 2) \backslash B(\bar{0}, 1)$ que separa $\bar{0}$ y el infinito.

Como podemos ver, la métrica estándar de Hausdorff no sirve, por ejemplo podemos tener una secuencia de Cauchy de curvas de Jordan con "dedos" cada vez más finos, el límite es un círculo con un pico, por lo tanto no es una curva de Jordan. (véase la figura siguiente)

Por lo tanto, en cierto sentido, la métrica no sólo tiene que "ver" la curva, sino también lo que ésta encierra. He buscado un poco en la literatura y no he encontrado nada... ¿Alguien conoce una métrica así? ¿Alguna idea?

Un intento mío de construir la métrica:

En primer lugar, podemos considerar el plano como la esfera de Riemann, de modo que nuestro espacio no es más que el conjunto de curvas de Jordan que separa el disco unitario alrededor del polo norte y el que rodea el polo sur. Para cada curva tenemos (hasta un automorfismo de Mobius del disco) dos mapas de Riemann desde el disco unitario estándar hasta los hemisferios Norte y Sur separados por la curva.

Define la distancia entre dos curvas como la distancia mínima entre el par de "mapas de Riemann del hemisferio norte", más el del hemisferio sur. Es fácil comprobar que esto da una métrica. En nuestro caso del "dedo", la $ \{ C_n \} $ no es Cauchy en nuestra métrica (porque el mapa de Riemann cartografiará cada vez menos parte del disco dentro del dedo por lo que hay una subsecuencia de distancia dedo-longitud aparte).

Creo firmemente que esta métrica es completa, pero no encuentro un buen argumento.

Lo que se puede hacer es, dada una secuencia de Cauchy de curvas de Jordan bajo la métrica anterior, elegir un par de mapas de Riemann que minimicen la distancia para cada curva (tales cosas siempre existen por un simple argumento de compacidad) y luego aplicar Carathéodory, todos los mapas de Riemann se extienden a la homeo en el límite, por lo que podemos tomar el límite puntual del mapa del límite. Hagamos lo mismo tanto para el hemisferio norte como para el hemisferio sur. Todo lo que necesitamos demostrar es que este límite sigue siendo inyectivo. (Creo que debería serlo porque si no, el Norte o el Sur tendrán un "cuello" infinitamente delgado, por lo que los mapas de Riemann en esa mitad no serán Cauchy).

Me he topado con muchas dificultades topológicas al intentar argumentar esto (principalmente porque no sabemos nada de la curva límite y puede ser realmente complicada)... Cualquier idea sobre cómo se podría hacer esto sería muy apreciada. :-P

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Figura mi comentario sobre la respuesta del profesor Thurston:

---Un caso sencillo para ilustrar que los dos mapas de Riemann no coinciden en el ecuador. Es decir, las líneas radiales en el hemisferio norte no 'quieren' pasar por el tubo delgado y aterrizar en la punta, pero a las líneas radiales en el hemisferio sur no les importa. Por lo tanto, la imagen previa del arco negro será muy corta en el disco del Norte, pero normal en el disco del Sur. Sin embargo, existe por supuesto una homeo $h$ en el límite para pegarlos. Sin embargo, no sé cómo eso daría un homeo de la esfera a sí mismo.

Answer 1

Existe una teoría muy buena del comportamiento de los límites para los mapas de Riemann, la teoría de Caratheodory de los extremos. Los mapas de Riemann para un conjunto abierto se extienden continuamente a la frontera de un disco siempre que la frontera sea localmente conexa.

Supongo que tu definición es en términos de los mapas de Riemann que fijan el polo norte o sur y tienen derivada un número real positivo en esos puntos. Si es así, entonces los mapas de Riemann dependen continuamente en el $L^\infty$ métrica en curvas de Jordan como has descrito, así que esto da una métrica.

¿Está completa la métrica? Una secuencia del par (mapa del hemisferio inferior, mapa del hemisferio superior) que es Cauchy en el uniforme ( $L^\infty$ ) converge a un par de mapas continuos que coinciden en el ecuador, por lo que los mapas pegados dan una imagen continua de la esfera que es un homeomorfismo al menos en el complemento del ecuador. Si no es inyectiva, las preimágenes de los puntos tendrían que ser intervalos, de lo contrario se destruiría la topología. Pero eso es imposible. Si se adelanta la medida $ds$ en el ecuador por un mapa de Riemann, nunca tiene átomos. Es lo mismo que dar con la medida del movimiento browniano en la imagen: si se parte del polo norte y se sigue una trayectoria browniana, ¿dónde llega primero al límite? Se trata siempre de una medida difusa.

Así que tienes razón: es una métrica completa en el conjunto de curvas de Jordan que has descrito.

Nota . Cualquier mapa cuasisimétrico (no lo definiré aquí, pero basta con Holder) del círculo al círculo surge de un par de mapas de Riemann para una curva de Jordan, aunque no necesariamente en el anillo que has descrito, y la curva de Jordan en este caso se conoce como cuasicírculo. Sin embargo, no se conoce una buena caracterización de qué mapas de encolado del círculo al círculo dan curvas de Jordan en general. La continuidad no es suficiente: hay contraejemplos que utilizan cosas que son localmente (por ejemplo) la gráfica de $\sin(1/x)$ más el intervalo $[-1,1]$ en el $y$ -eje, donde el mapa de encolado para los mapas de Riemann a los dos lados se extiende continuamente a través de la discontinuidad de la gráfica. Una mejor caracterización de qué mapas de encolado dan qué topología y geometría es muy difícil, pero de gran interés en dinámica compleja y algunos otros temas.

Answer 2

Me temo que esto es posiblemente un poco demasiado abstracto para sus propósitos, pero le dice que hay tal distancia completa topológicamente equivalente a la distancia uniforme, y se puede hacer más concreta (comprobar la construcción de la métrica completa en Alexandrov teorema sobre espacios polacos).

El conjunto $\mathcal{J}$ de todas las curvas de Jordan $\gamma:S^1\to\mathbb{R^2}$ como subconjunto del espacio separable de Banach $X:=C(S^1,\mathbb{R^2})$ es un $G_\delta$ puesto. En efecto, para todo $n\in\mathbb{N}_+$ defina $\mathcal{J}_n$ como el conjunto de todos los $\gamma\in C(S^1,\mathbb{R^2})$ tal que $\gamma(s)\ne \gamma(t)$ siempre que $|s-t|\geq\frac{1}{n}$ : entonces $\mathcal{J}_n$ está abierto y $\mathcal{J}=\cap_n \mathcal{J}_n$ . Por el teorema de Alexandrov, $\mathcal{J}$ es un espacio polaco como $X$ sí mismo. $$*$$ [EDITAR]. Como usted dijo en su comentario a continuación, su objetivo es demostrar que la conexión de los dos límites del anillo $A$ sin cruzar más de una vez una curva de Jordan genérica dada que serpentea alrededor del origen, requieren un camino de longitud infinita. Me gustaría añadir algunas pistas y observaciones (aquí mantengo un punto de vista paramétrico). Entonces me parece que, no sólo no hace falta construir explícitamente una métrica completa para la $G_\delta$ de las curvas de Jordan, pero en realidad ni siquiera se necesita una métrica (es decir, no se necesita el thm de Alexandrov). Sólo se necesita un hecho más elemental (y más general): a $G_\delta$ de un espacio de Baire es a su vez un espacio de Baire. Así, $\mathcal{J}$ es un espacio de Baire.

Así que sólo tiene que demostrar que para todos $k$ el conjunto $L_k$ es una densa $G_\delta$ subconjunto de $\mathcal{J}$ donde como se ha dicho $L_k$ se define como el conjunto de todos los $\gamma\in\mathcal{J}$ con la propiedad de que para todo $p\in C^0([0,1],A)$ conectando las fronteras de $A$ (decir $|p(0)|=1$ y $|p(1)|=2$ ) y cruce $\gamma$ sólo una vez, se tiene $L(p) > k$ .

Para demostrar que $L_k$ es denso en $\mathcal{J}$ basta con aproximar en la topología uniforme una curva regular suave $\gamma$ . En realidad, para simplificar la descripción mostraré la construcción para una (parametrización del) eje Y (entonces el caso de $\gamma\in\mathcal{J}$ también puede conseguirse mediante alguna transformación bi-lipschitz). Una forma sencilla de hacer una curva ondulada aproximada a la $Y$ eje, es por la unión de las gráficas de las funciones $$u_j:[-\epsilon,+\epsilon]\ni x\mapsto\epsilon\sin(x/\epsilon^2)+\epsilon^2j,$$ con $ j \in \mathbb{Z},$ unidas a la izquierda y a la derecha por segmentos verticales de longitud $\epsilon^2,$ para hacer una curva única $\gamma_\epsilon$ cerca del $Y$ -Eje. Claramente, cualquier trayectoria $p$ digamos de $-1$ a $+1$ que cruzan esta curva $\gamma_\epsilon$ sólo una vez, tiene que permanecer completamente entre los gráficos de $u_j$ y $u_{j+1}$ ya sea para $-\epsilon\leq x\leq 0$ o para $0\leq x\leq \epsilon,$ y por lo tanto tiene una longitud de al menos $O(1/\epsilon)$ .

Los decorados $L_k$ no parecen estar abiertos: aunque creo que hay esperanzas de que puedas demostrar que lo están $G_\delta$ mediante una descomposición como la del $\mathcal{J}_n$ (aquí el punto clave debería ser la semicontinuidad de la longitud, y la compacidad de las curvas de longitud finita un a reparametrización). Espero que te sirva de ayuda. $$*$$ PS una conjetura más fuerte. Un genérico $\gamma\in\mathcal{J}$ se encuentra con cualquier camino de longitud finita que conecte los límites de $A$ en un conjunto perfecto infinito (quizás sea conocido. Me recuerda a algunos resultados sobre dimensión topológica).