¿Cuántos operadores de Hecke abarca el álgebra de Hecke de nivel 1?

Question

Sea $k \ge 4$ sea un número entero par, y que $d$ sea la dimensión del espacio $M_k(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}))$ de formas modulares de nivel 1 y peso $k$ . Entonces el espacio de operadores de Hecke que actúan sobre $M_k$ también tiene dimensión $d$ . ¿Está atravesado por $T_1, \dots, T_d$ ?

De forma equivalente (más explícita pero también más desordenada): si $f \in M_k(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}))$ satisface $a_i(f) = 0$ para $1 \le f \le d$ donde $a_i(f)$ son los $q$ -coeficientes de expansión de $f$ sin suponer que $a_0(f)$ ¿es necesariamente cierto que $f = 0$ ?

(Edición: Véase también pregunta de seguimiento que plantea una pregunta relacionada para las formas modulares de nivel superior).

Answer 1

Escriba a $k = 12\ell + k'$ donde $k'$ es uno de $0, 4, 6, 8, 10, 14$ y que $f_{k, m}$ sea la única forma modular débilmente holomorfa (polos permitidos en las cúspides) de peso $k$ para $SL_2(\mathbb{Z})$ con expansión de Fourier $f_{k, m} = q^{-m} + \sum_{n \geq \ell+1} a_k(m, n) q^n$ . La dualidad de coeficientes $a_k(m, n) = -a_{2-k}(n, m)$ entre formas de peso $k$ y formas de peso $2-k$ (véase http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/serre.pdf ), por lo que la pregunta original equivale a preguntar si es cierto que el coeficiente $a_{k}(0, \ell+1)$ nunca es cero. Por dualidad, este coeficiente es el negativo del término constante en $f_{2-k, \ell+1} = \frac{E_{14-k'}}{\Delta^{\ell+1}} = q^{-\ell-1} + \sum_{n=-\ell}^\infty a_{2-k}(\ell+1, n) q^n$ . El artículo de Siegel de 1969 al que se hace referencia en la respuesta de Robin Chapman demuestra que este término constante es siempre distinto de cero (Teorema 2), por lo que la respuesta a la pregunta original es afirmativa en todos los casos. Una traducción al inglés del artículo de Siegel aparece como apéndice en su libro Advanced Analytic Number Theory, disponible en línea en http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr23.pdf .

Answer 2

La respuesta es sí cuando $k$ es múltiplo de $4$ . Existe una forma única de peso $k$ de la forma $f_k=1+a_dq^d+\cdots$ . En $k$ es un múltiplo de $4$ esta es la serie theta para un putativo extremo incluso unimodular de rango $2k$ . Teorema 20 del capítulo 7 de la obra de Conway y Sloane Embalajes de esferas, retículos y grupos afirma que $a_d>0$ . Dan varias referencias para la prueba, incluido un artículo de Siegel de 1969.

Answer 3

Se sabe que $S_k(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}))$ tiene una base $(f_1,\ldots,f_d)$ satisfaciendo $a_i(f_j) = \delta_{i,j}$ (véase por ejemplo el libro de William Stein "Modular forms : a computational approach", Sección 2.3, se denomina base de Miller). Así, el álgebra de Hecke de $S_k(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}))$ es generado por $T_1,\ldots,T_d$ .

Creo que se debería poder obtener el resultado análogo para $M_k(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}))$ utilizando el hecho de que los coeficientes de Fourier de la serie de Eisenstein son tan grandes con respecto a las formas de cúspide.