Es el conjunto vacío de un juego de poder?

Question

Tengo algún trabajo en casa con problemas tales como la...

Determinar si cada uno de estos conjuntos es el juego de poder de un conjunto:

1. {∅, {a}}
2. ∅

Así que si 1 es el poder conjunto de {un}.

Pero, ¿qué acerca de la 2? Desde conjuntos de poder tener $2^k$ de los miembros entonces ya no puede ser un juego de poder. Tendría que ser P(∅) = {∅, {∅}} la correcta? Dado que debe contener 2 miembros. Sin embargo, cuando trato de comprobar por mí mismo con Wolfram Alpha, se dice que P({}) = {{}}... por qué? Pensé que deben tener $2^k$ de los miembros!

Answer 1

Una manera de ver que $\emptyset$ no puede ser un juego de poder es que por Cantor del teorema de el juego de poder de cualquier conjunto de $A$ ha estrictamente mayor cardinalidad de a $A$. Ahora que establezca $A$ podría haber estrictamente menor cardinalidad que el conjunto vacío?

Answer 2

Queremos hacer un poder establecido, a fin de comenzar con el conjunto de las barras: $$ P(\emptyset) = \{\text{cosas va aquí}\}. $$ Qué vamos a llenar este conjunto? Como con cualquier otro juego de poder, se llena con todos los subconjuntos de la gran conjunto en cuestión. Aquí, el gran conjunto en cuestión es $\emptyset$, que tiene exactamente un subconjunto (es decir, $\emptyset$). Por lo tanto, escribimos que un subconjunto en el juego de poder obtener $$ P(\emptyset) = \{\emptyset\}. $$ Aviso el conjunto vacío contiene $0$ elementos, mientras que su poder establecer contiene $2^0 = 1$ elementos.

Answer 3

Cada powerset debe contener al menos uno de los miembros, a saber,$\emptyset$. El conjunto $\emptyset$ sí no contiene miembros, por lo que no puede ser el powerset de cualquier conjunto.

El powerset de $\emptyset$$\{\emptyset\}$, el cual tiene exactamente $1 = 2^0$ de los miembros. Es el más pequeño powerset, en el estricto sentido de que es un subconjunto de todos los otros powerset, todos los cuales contienen al menos dos miembros. (Específicamente, el powerset de cualquier conjunto $S \ne \emptyset$ tiene al menos $\emptyset$ $S$ como miembros.)