Descripción categórica del producto restringido (Adeles)

Question

Antecedentes de las Adèles

Las Adèles $\mathbb{A}_K$ de un campo numérico o de un campo de función $K$ se definen como a producto restringido de los campos locales completos $K_\nu$ donde $\nu$ abarca todos los lugares de $K$ . El producto restringido suele definirse como el subconjunto de $\prod_\nu K_\nu$ dada por

$\mathbb{A}_K := \prod_\nu' K_\nu := \{ (x_\nu)_\nu \in \prod_\nu K_\nu\ |\ \text{ all but finitely many } x_\nu \in \mathcal{O}_\nu\}$

donde $\mathcal{O}_\nu$ es el anillo de enteros en $K_\nu$ .

Descripción del producto Tensor

Una descripción alternativa, en aras de la concreción dada para los racionales $K=\mathbb{Q}$ mediante el producto tensorial:

$\mathbb{A}_\mathbb{Q} = \left(\left(\prod_p \mathbb{Z}_p\right) \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}\right) \times \mathbb{R}.$

Esto es lo mismo, porque $\mathbb{Z}_p \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_p$ y el producto tensorial captura la condición de finitud. Dado que siempre hay un número finito de lugares infinitos, esta descripción también se puede dar para cualquier campo numérico (y, por supuesto, campos de funciones, ya que no tienen lugares infinitos en absoluto).

La topología en las Adèles

El producto restringido viene con un topología de producto restringida que no es la topología de subespacios del producto ordinario (a pesar de su nombre), sino la topología cuyos conjuntos de subbases son

$V_{\eta,U_\eta} := \{(x_\nu)_\nu \in \prod_\nu K_\nu\ |\ x_\nu \in \mathcal{O}_\nu \text{ for } \nu \neq \eta, \text{ and } x_\eta \in U_\eta\}$

con $\eta$ un lugar y $U_\eta \subseteq K_\eta$ cualquier subconjunto abierto. La topología del subespacio del producto difiere de ésta al requerir únicamente $x_\nu \in \mathcal{O}_\nu$ para todos los lugares menos finitamente muchos, que no se fijan uniformemente para un conjunto de subbases.

Dado un subconjunto $U$ de $\mathbb{A}_K$ que es abierto en la topología del subespacio ordinario a partir del producto ordinario, para cada lugar $\nu$ puede haber un $x \in U$ tal que $x_\nu \notin \mathcal{O}_\nu$ . Si en cambio $U$ es abierto en la topología del producto restringido, existe un conjunto finito fijo de lugares $\{\nu_1,...,\nu_m\}$ tal que para cada $x \in U$ y en cualquier otro lugar $\nu \neq \nu_i$ tenemos $x_\nu \in \mathcal{O}_\nu$ .

Buenas propiedades de esta topología son: Se obtiene de nuevo un grupo localmente compacto con subgrupo abierto compacto $\prod_\nu \mathcal{O}_\nu$ y que la medida de Haar en $\mathbb{A}_K$ da el cociente $\mathbb{A}_K/K$ una medida finita (con $K$ incrustado diagonalmente por los mapas $K \to K_\nu$ ).

La pregunta: ¿cómo describir categóricamente las Adèles?

Más concretamente, me gustaría entender también la topología restringida. El producto ordinario es un límite, y como tal lleva la topología inicial. Cualquier subespacio lleva la topología inicial también, pero esto da la equivocado topología, no la topología de producto restringida pero la topología restringida del producto.

• ¿Es imposible hacer una descripción categórica?
• ¿Sería útil tener una descripción categórica?
• ¿Hay que aplicar un procedimiento límite-colímite o basta con un único límite o colímite?
• Existen algunas similitudes con los ultraproductos, que clásicamente no se definen de forma categórica, pero es posible. El producto restringido es algo dual a un ultraproducto. ¿Podría ser de ayuda?
• ¿Existe una buena forma canónica de topologizar el producto tensorial de álgebras topológicas sobre un anillo topológico? ¿Resolvería eso mi problema?
• ¿Qué propiedades (universales) cumplen las Adèles?

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(había una sección con mis ideas (que no funcionaban) al respecto, que eliminé después de que llegaran las respuestas).

Answer 1

Personalmente creo que debería evitarse la descripción restringida del producto. Es mejor definir $\widehat{\mathbb{Z}}$ para ser el límite inverso del sistema de todos los cocientes $\mathbb{Z}/n$ (sin factorizar gratuitamente $n$ como producto de primos) y luego poner $\mathbb{A}=(\mathbb{Q}\otimes\widehat{\mathbb{Z}})\times\mathbb{R}$ . Podemos topologizar esto dando $\mathbb{R}$ la topología habitual, y $\mathbb{Q}\otimes\widehat{\mathbb{Z}}$ la topología para la que los conjuntos $q\otimes\widehat{\mathbb{Z}}$ forman una base de vecindades de cero. Ahora los adeles para cualquier campo numérico $K$ puede definirse como $\mathbb{A}\otimes K$ . Cualquier $\mathbb{Q}$ -base para $K$ identifica $\mathbb{A}\otimes K$ con $\mathbb{A}^d$ por lo que se obtiene una topología de $\mathbb{A}\otimes K$ que se ve fácilmente que es independiente de la elección de la base. La conexión con primos/valoraciones para $K$ debería ser un teorema, no una definición.

Answer 2

Esta pregunta también me dejó perplejo hace un tiempo. He aquí una sugerencia, que funcionó para mí:

1. El producto y el coproducto de categorías se definen mejor mediante una propiedad cartográfica universal.

2. Los adeles $\mathbb{A}$ son el límite inductivo de todos los $S$ -adeles $$\mathbb{A}(S) = \mathbb{R} \times \prod\limits_{p \in S} \mathbb{Q}_p \times \prod\limits_{p \notin S} \mathbb{Z}_p$$ para un conjunto finito de lugares. La propiedad universal se describe del siguiente modo: Si se da un mapa $$\phi : \mathbb{A} \rightarrow X$$ a algún espacio topológico $X$ entonces existe para cada conjunto suficientemente grande $S$ un único $\phi_S : \mathbb{A}(S) \rightarrow X$ tal que $\phi_S = \phi$ en $\mathbb{A}(S)$ .

Observación: Para que esto funcione, es importante que todos los subrings compactos ( $\mathbb{Z}_p$ en el contexto anterior) son en realidad subrings abiertos, ya que hay que elegir las funciones características de este conjunto en los lugares $p \notin S$ construir $\phi_S$ . Así que dudo que el producto restringido pueda definirse en la categoría de grupos/anillos/espacios localmente compactos de tal manera. En cambio, el producto restringido puede definirse para una familia de pares de espacios topológicos $(A_i \supset B_i)_i$ con casi todos los $B_i$ están abiertas en $A_i$ .

Answer 3

En primer lugar, las referencias citadas por KConrad más arriba son indebidamente descuidadas/obscuras... mientras que responden a la pregunta tal cual.

Además, como contesta Mrc Plm, literalmente los adeles son una colimita de productos.

En tercer lugar, en efecto, se puede abstraer (con éxito) la "topología del producto restringido" (de nuevo, como señala KConrad, no la "topología del producto restringido", sino la otra agrupación), PERO lo que no está claro es qué sentido tendría eso, creo yo. Es decir, aparte de la discusión sobre adeles, ideles, adelizaciones de grupos reductores sobre campos globales, y su teoría repn, no hay muchos ejemplos de "productos restringidos" que se den de forma natural. Así, aunque, si perseveramos, podemos abstraer la noción, después de haberlo hecho no tenemos revelaciones sobre cómo estas cosas estaban a nuestro alrededor pero simplemente sin nombre. :)

Es decir, la noción de "producto restringido" se percibe razonablemente como un poco decepcionante, ya que explica poco.

Me parece una pregunta retórica interesante "¿se dan los adeles en la naturaleza?", frente a "¿podemos construirlos/axiomatizarlos", o "¿son útiles?". Un análogo más simple son los enteros p-ádicos $\mathbb Z_p$ que, aunque eminentemente construible como terminación de $\mathbb Z$ se podría preguntar por qué hacer que la métrica, ... teniendo en cuenta que se necesita un poco de pensamiento para verificar que se trata de una métrica en absoluto, y, a continuación, ¿por qué completa? Es decir, por ahora $\mathbb Z_p$ es el límite (proyectivo) de $\mathbb Z/p^n$ me convence más el aspecto de que ocurre en la naturaleza.

Del mismo modo, los "solenoides" fabricados tomando límites de $\mathbb R/N\cdot \mathbb Z$ tienen un límite que podría decirse que es un objeto natural. Cuando ya tenemos $\mathbb Q_p$ en la mano, podemos exhibir una acción de $\mathbb Q_p$ en este solenoide. Una investigación honesta de lo cerca que podemos estar de hacer actuar el producto genuino de p-adics nos lleva a la restricción que aparece en la definición contundente de adeles. En varias secuencias lógicas, se encuentra que el solenoide es $\mathbb A/\mathbb Q$ . En este contexto, el compacidad del cociente es inmediata, ya que los límites (de Tychonoff) de los compactos de Hausdorff son compactos.

Es decir, se puede "descubrir" gran parte de la noción de "producto restringido" intentando escribir el solenoide como un cociente por $\mathbb Q$ de algo que tiene una acción de $\mathbb R$ y todos los $\mathbb Q_p$ etc.

Es decir, es posible dar alguna idea de inevitabilidad a estas nociones quizá mejor que limitarse a dar las definiciones.

Answer 4

Sea $P$ el pullbak (en la categoría de grupos topológicos) de los mapas naturales $\prod_{\nu\in N} K_\nu\to \prod_\nu K_\nu/\mathcal{O_\nu}$ y $\coprod_\nu K_\nu/\mathcal{O_\nu}\to \prod_\nu K_\nu/\mathcal{O_\nu}$ entonces $P$ como conjunto es el producto restringido, pero tiene la topología del subespacio del producto $\prod_\nu K_\nu$ . Ahora $\coprod_\nu K_\nu/\mathcal{O_\nu}$ es el colímite (filtrante) de $(\coprod_{\nu\in F} K_\nu)_{F\subset N finite}$

con coproiecciones $\coprod_{\nu\in F}K_\nu\to \coprod_\nu K_\nu\to \coprod_\nu K_\nu/\mathcal{O_\nu}$ . Y por pullback tenemos que el conjunto $P$ es una colimita (filtrante) $(P_F\to P)_{F\subset N\ finite}$ y $P_F$ es el producto del $K_\nu\ \nu\in F$ y el $\mathcal{O_\nu},\ \nu\not\in F$ y observe que $P_{F_1}\cap P_{F_2}=P_{F_1\cap F_2}$ . Dar en $P_F$ la topología inducida por la proyección $P_F\to \prod_{\nu\in F} K_\nu$ (el codominio por la topología del producto).

Si tomamos la topología del colímite en $P$ obtenemos la topología restringida: Si $U$ es abierta en la topología del colímite, entonces cada $U\cap P_F$ es abierta, entonces es abierta en la topología restringida (donde la familia de las $P_F$ es una cobertura abierta), y viceversa, sea $U$ uniones de una familia de $P_F$ es suficiente para demostrar que cada $P_F$ es abierta en la topología colimit, es decir, que la intersección con cualquier $P_{F'}$ está abierto en $P_{F'}$ pero esto se deduce de la observación anterior (y obsérvese que cualquier $\mathcal{O}\subset K$ se supone abierto, véase http://modular.math.washington.edu/129/ant/html/node82.html ).