una desigualdad geométrica de polígono circunscrito

Question

Aprendí el siguiente teorema del libro de Roger Johnson Geometría euclidiana avanzada §101g:

Teorema: Si un polígono está inscrito en una circunferencia, y A es un punto de la circunferencia, el producto de las distancias de A a los lados del polígono, es igual al producto de las distancias de A a las tangentes de la circunferencia en los vértices del polígono.

He utilizado el bloc de dibujo del geómetra y he descubierto que la siguiente desigualdad puede ser cierta:
Si el punto A está dentro del círculo, el primer producto es siempre menor que el segundo, independientemente de la convexidad del polígono.
El primer producto es menor que el segundo,si A está dentro de la región coloreada de morado La misma desigualdad es válida para los polígonos cóncavos
(Como mi lengua materna no es el inglés, si hay alguna expresión poco clara, ¡pregúnteme!).

Answer 1

Tu desigualdad es cierta.

Sea $\mathcal{C}$ cualquier círculo de radio $r$ . Para cualquier $P, Q \in \mathcal{C}$ , dejemos que

• $\ell_P$ y $\ell_Q$ sean las líneas tangentes de $\mathcal{C}$ en $P$ y $Q$ ,
• $\ell_{PQ}$ sea la recta que pasa por $P$ y $Q$ .

Elija una Sistema de coordenadas cartesianas para el plano euclidiano de forma que $\mathcal{C}$ está centrada en el origen con $P, Q$ posición simétrica respecto al $x$ -es decir, para un eje $\theta \in (0,\pi)$ , $P, Q$ se sitúan en $(r\cos\theta, r\sin\theta)$ y $(r\cos\theta,-r\sin\theta)$ .

En este sistema de coordenadas, las ecuaciones de las rectas son

$$\begin{array}{rc} \ell_P :& \cos\theta x + \sin\theta y - r = 0\\ \ell_Q :& \cos\theta x - \sin\theta y - r = 0\\ \ell_{PQ} :& x - r\cos\theta = 0 \end{array}$$

Sea $\mathcal{D}$ sea el disco abierto delimitado por $\mathcal{C}$ . Si $A = (u,v) \in \mathcal{D}$ tendremos $r^2 > u^2 + v^2$ . Las distancias de $A$ a las líneas vendrán dadas por las fórmulas:

$$\begin{align} d(A,\ell_P) &= r - ( \cos\theta u + \sin\theta v )\\ d(A,\ell_Q) &= r - ( \cos\theta u - \sin\theta v )\\ d(A,\ell_{PQ}) &= | u - r\cos\theta | \end{align}$$ Con un poco de álgebra, encontramos $$\begin{align} d(A,\ell_P)d(A,\ell_Q) - d(A,\ell_{PQ})^2 &= (r - \cos\theta u)^2 - v^2\sin^2\theta - (u- r\cos\theta)^2\\ &= \sin^2\theta(r^2 - u^2-v^2)\\ &> 0\end{align}$$ Como resultado,

$$\sqrt{d(A,\ell_P)d(A,\ell_Q)} > d(A,\ell_{PQ})$$

Sea $P_1,P_2,\ldots,P_n$ ser cualquier $n$ puntos sobre $\mathcal{C}$ y utilizar $P_0$ como alias de $P_n$ . Sustituir $(P,Q)$ siguiendo $n$ pares de puntos $(P_n,P_1), (P_1,P_2),\ldots,(P_{n-1},P_n)$ , su desigualdad sigue:

$$\prod_{k=1}^n d(A,\ell_{P_k}) = \prod_{k=1}^n \sqrt{d(A,\ell_{P_{k-1}})d(A,\ell_{P_k})} > \prod_{k=1}^n d(A,\ell_{P_{k-1}P_k})$$

Si sustituye $\mathcal{D}$ por el disco cerrado $\bar{\mathcal{D}}$ El $>$ en la desigualdad anterior se convierte en $\ge$ .