Nos gustaría mucho conocer la respuesta a la siguiente pregunta:
Sea $\|\cdot\|$ sea cualquier norma sobre $\mathbb{Z}^d$ y que $W(\mathbb{Z}^d)$ sea el grupo de todas las biyecciones de $\mathbb{Z}^d$ tal que $$\|g(j)-j\|\leq C_g,$$ para alguna constante $C_g$ que sólo depende del elemento $g\in W(\mathbb{Z}^d)$ . Consideremos el espacio de Hilbert $L^2(\{0,1\}^{\mathbb{Z}^d},\mu)$ donde $\{0,1\}^{\mathbb{Z}^d}$ viene con la medida estándar de Bernoulli $\mu$ .
Buscamos un funciones $f_n\in > L^2(\{0,1\}^{\mathbb{Z}^d},\mu)$ w $\|f_n\|_2=1$ a $$\|g.f_n-f_n\|_2\rightarrow 0, \text{ > for every } g\in W(\mathbb{Z}^d),$$ $$\|f_n\cdot\chi_{\{\omega_j\in > \{0,1\}^{\mathbb{Z}^d}:\omega_0=0\}}\|_2\rightarrow > 1.$$ donde $\chi_{\{(\omega_j)_{j\in \mathbb{Z}^d}\in \{0,1\}^{\mathbb{Z}^d}:\omega_0=0\}}$ es la función característica del conjunto de cilindros $\{(\omega_j)_{j\in \mathbb{Z}^d}\in \{0,1\}^{\mathbb{Z}^d}:\omega_0=0\}$
Motivación:
La existencia de tal secuencia para todos los $d$ refutaría la conjetura de Katok, de que el grupo de transformación de intercambio de intervalos contiene un subgrupo libre.
Lo que sabemos sobre la pregunta anterior:
En el trabajo conjunto con Nicolas Monod, aquí demostramos que para $n=1$ la siguiente función satisface las propiedades anteriores: $$f_n(\omega)=e^{-n \sum\limits_{j\in \mathbb{Z}} \omega_j e^{-\frac{|j|}{n}}}=\prod_{j\in Z} a_j^{\omega_j},$$ donde $a_j=e^{-n e^{-\frac{|j|}{n}}}$ . Nos interesa extender este resultado a dimensiones más altas. Nótese que la función anterior es el producto de funciones de variables aleatorias i.d. independientes.
Sea $G< W(\mathbb{Z}^d)$ sea un subgrupo finitamente generado de $W(\mathbb{Z}^d)$ .
Además de lo anterior (en colaboración con Nicolas Monod y Mikael de la Salle) sabemos que la existencia de las funciones con la propiedad anterior en la clase de funciones que pueden escribirse como el producto de funciones de variables aleatorias independientes i.d. es equivalente a cierta propiedad del gráfico de Schreier de la acción de $G$ en $\mathbb{Z}^d$ . Permítanme dar más detalles al respecto.
El gráfico de Schreier de la acción de $G$ en $X$ con respecto a $S$ es el grafo con vértices $X$ y con un borde entre $x$ y $y$ para cada $g \in S$ con $g x=y$ .
Decimos que un grafo infinito $G=(V,E)$ satisface una desigualdad de Sobolev con raíz en $x_0 \in X$ si el valor en $x_0$ de cualquier $c_0$ -función on $V$ está limitada por el $\ell^2$ -de su gradiente, es decir, existe una constante $C>0$ tal que $$\|f\|_{c_0(V)} \leq C \sum_{x \sim x' \in V} |f(x') - f(x)|^2.$$
Podemos demostrar que
Las funciones $f_n$ con la propiedad anterior en la clase de productos si y sólo si el grafo de Schreier de la acción de $G$ en $X$ con respecto a $S$ no satisface un Sobolev de Sobolev.
Además, para $d=1,2$ y $G$ sea un subgrupo finitamente generado de $W(n)$ con grupo generador simétrico $S$ . Entonces el gráfico de Schreier de la acción de $G$ en $\mathbb{Z}^d$ no satisface una desigualdad de Sobolev arraigada. Sin embargo, hay subgrupos en $W(\mathbb{Z}^3)$ tales que su gráfico de Schreier satisface la desigualdad de Sobolev.
Resumiendo lo anterior, podemos encontrar una secuencia de funciones en la clase de los productos con la propiedad anterior sólo en los casos $n=1,2$ .
Alguna sugerencia sobre posibles ejemplos de funciones que puedan hacer el dimensiones?
