Ciclos en $5×5$ Cuadrados latinos (solución encontrada)

Question

Uno de mis formatos de puzzle favoritos es el KenKen, en el que debes encontrar un $n×n$ Cuadrado latino que debe rellenarse con números enteros del 1 al $n$ , dadas sumas, diferencias, productos o cocientes de varios grupos de entradas. Los rompecabezas vienen en varios tamaños, incluyendo $5×5$ .

Cuando resuelvo un $5×5$ rompecabezas Siempre me parece encontrar al final que al menos dos filas son permutaciones cíclicas entre sí. ¿Es esto siempre cierto en $5×5$ ¿Cuadrados latinos, o hay alguna extraña coincidencia?

Resulta que he encontrado la solución. Más del 90% de los cuadrados latinos de 5×5 tienen al menos un par de filas permutadas cíclicamente. Así que un KenKen de 5×5 sin permutaciones cíclicas resulta ser relativamente raro.

Answer 1

Un contraejemplo en el que ninguna de las filas es una permutación cíclica de otra:

$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&3&5&1&4\\ 3&5&4&2&1\\ 4&1&2&5&3\\ 5&4&1&3&2 \end{bmatrix}$$

Pero, resulta que sólo hay $5$ cuadrados latinos reducidos de $56$ total para $5×5$ cuadrados. Así, menos del 10% de todos los $5×5$ debería esperarse que las soluciones carecieran de tal permutación cíclica de filas. De ahí que estas soluciones sean difíciles de encontrar.

Aquí están los otros cuatro cuadrados reducidos sin permutaciones cíclicas de filas:

$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&5&1&3&4\\ 3&1&4&5&2\\ 4&3&5&2&1\\ 5&4&2&1&3 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&5&4&1&3\\ 3&4&2&5&1\\ 4&1&5&3&2\\ 5&3&1&2&4 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&4&5&3&1\\ 3&5&2&1&4\\ 4&3&1&5&2\\ 5&1&4&2&3 \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&4&1&5&3\\ 3&1&5&2&4\\ 4&5&2&3&1\\ 5&3&4&1&2 \end{bmatrix}$$