¿Cuál es la biyección entre reales y secuencias infinitas de enteros?

Question

En la Teoría Descriptiva de Conjuntos vemos a menudo la noción de codificar un real como una secuencia de enteros o números naturales -- es decir, obviamente hay una biyección según los axiomas de ZF. Pero, ¿cómo se ve concretamente? ¿Alguien ha visto una construcción sencilla?

Mi propio enfoque es por fracciones en cadena:

Sea $q\in\mathbb{R}$ sea el real dado y defina ahora la secuencia $(z_i,q_i)$ por $$z_{i+1}=\begin{cases}[q_i]&\text{if } \{q_i\}\leq\frac{1}{2}\\ [q_{i}]+1&\text{else} \end{cases}$$ $$q_{i+1}=(q_i-z_{i+1})^{-1}$$ donde $[q]$ es el siguiente número entero inferior y $\{q\}=q-[q]$ . (Por lo tanto $(q_i-z_{i+1})\in(-\frac12,\frac12]$ con lo que el valor absoluto de $q_{i+1}$ su recíproco, es mayor que 2). Ahora mi biyección es el mapeo $q$ a la secuencia: $$m_i=\begin{cases}z_i-2&z_i>0, i>1\\ z_i&i=1\\ z_i+2&z_i<0, i>1\end{cases}$$ con $i$ a partir de 1 $q_0$ se convierte en el $q$ . Y la inversa de mi biyección sólo calcula la fracción de cadena: $q_{i-1}\in(z_i-\frac12,z_i+\frac12]$ con $q_{i-1}=z_i+q_i^{-1}$ estrechando paso a paso el real mediante una secuencia de intervalos cada uno de los cuales contiene al siguiente.

¿hay algún artículo o libro que trate mi ejemplo? ¿alguna otra construcción sencilla?

Answer 1

[ Nota: esta respuesta utiliza la convención donde $\mathbb{N} := \{ 0, 1, 2, \dots \}$ contiene cero].

Existe una elegante biyección explícita preservadora del orden entre el Espacio de Baire $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ (por orden lexicográfico) y $\mathbb{R}_{\geq 0}$ (en el orden habitual) descrito ici .

En particular, definimos la imagen de:

$$ (a_0, a_1, a_2, a_3, \dots) $$

para ser la fracción continua generalizada:

$$ a_0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{a_2 + \ddots}}}} $$

Esta biyección preservadora del orden muestra que $\mathbb{R}_{\geq 0}$ y $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ no sólo son isomorfos como conjuntos (es decir, equinuméricos), sino también isomorfos como conjuntos totalmente ordenados.

Topológicamente, esta biyección de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ a $\mathbb{R}_{\geq 0}$ es continua, lo que significa que todo subconjunto abierto de los reales no negativos corresponde a un subconjunto abierto del espacio de Baire. Lo contrario no es del todo cierto (si lo fuera, los dos espacios serían homeomórficos, y no lo son); la continuidad del mapa inverso falla exactamente en los racionales positivos.

Answer 2

Cuando se trata de cardinalidades relativas y biyecciones, el Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein expresa lo que en mi opinión es el hecho fundamental de que las comparaciones cardinales obedecen al principio de antisimetría . Es decir, si $|A|\leq|B|$ y $|B|\leq|A|$ entonces $A$ y $B$ son biyectivas. Es decir, si $A$ y $B$ se inyectan entre sí, entonces el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein proporciona una biyección de $A$ con $B$ definidas explícitamente a partir de esas inyecciones. A mi modo de ver, es en última instancia este hecho el que nos autoriza a pensar en la equinumerosidad como una medida del tamaño. (En particular, creo que casi todas las discusiones filosóficas sobre Principio de Hume debería completarse con una discusión del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein).

En su caso, hay una inyección fácil de los reales a la secuencia infinita de números naturales, ya que podemos mapear cada número real a la enumeración canónica de los números racionales por debajo de él. Y hay una inyección fácil de las secuencias infinitas de números naturales a los reales, mapeando $(n_0,n_1,n_2,\dots)$ al número real $0.1000\cdots010\cdots010\cdots$ donde el número de ceros en cada bloque es $n_0$ , $n_1$ etc.

Así pues, el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein demuestra que los dos conjuntos son equinuméricos por el mapa explícito proporcionado en dicha demostración.

En última instancia, lo que sostengo es que es más importante comprender la relación de equinumerosidad en los conjuntos que intentar encontrar una biyección "natural", que considero un concepto sin sentido que no aporta nada.

Answer 3

Hay biyecciones $$ \text{Map}(\mathbb{N},\mathbb{N}) \xrightarrow{\alpha} \text{Map}(\mathbb{N},\mathbb{N})\setminus\{0\} \xrightarrow{\beta} \text{SInc}(\mathbb{N},\mathbb{N}) \setminus\{\text{id}\} \xrightarrow{\gamma} \mathcal{P}_\infty(\mathbb{N})\setminus\{\mathbb{N}\} \xrightarrow{\delta} (0,1) \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{R} $$ como sigue.

1. $\alpha(u)=u$ a menos que $u$ es constante, en cuyo caso $\alpha(u)=u+1$ .
2. $\text{SInc}(\mathbb{N},\mathbb{N})$ es el conjunto de mapas estrictamente crecientes de $\mathbb{N}$ a sí mismo, y $\beta(u)(n)=n+\sum_{i\leq n}u(i)$ .
3. $\mathcal{P}_\infty(\mathbb{N})$ es el conjunto de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ y $\gamma(v)=v(\mathbb{N})$ .
4. $\delta(S)=\sum_{i\in S}2^{-i-1}$ .
5. $\epsilon(x)=(x-\frac{1}{2})/\sqrt{x(1-x)}$ .

También podemos dar una biyección desde $\text{Map}(\mathbb{N},\mathbb{N})$ al conjunto completo $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ de todos los subconjuntos de $\mathbb{N}$ como sigue. Primero observamos que las reglas discutidas anteriormente también dan biyecciones $$ \text{Map}(\mathbb{N},\mathbb{N}) \xrightarrow{\beta} \text{SInc}(\mathbb{N},\mathbb{N}) \xrightarrow{\gamma} \mathcal{P}_\infty(\mathbb{N}). $$ También tenemos una biyección $\zeta$ del conjunto $\mathcal{P}_0(\mathbb{N})$ de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ dada por $\zeta(S)=\sum_{i\in S}2^i$ . Ahora para $u\in\text{Map}(\mathbb{N},\mathbb{N})$ definimos $\eta(u)\in \mathcal{P}(\mathbb{N})=\mathcal{P}_0(\mathbb{N})\amalg\mathcal{P}_\infty(\mathbb{N})$ por $$ \eta(u) = \begin{cases} \zeta^{-1}(n) & \text{ if } u \text{ is constant with value } 2n \\ \gamma\beta(n) & \text{ if } u \text{ is constant with value } 2n+1 \\ \gamma\beta(u) & \text{ if } u \text{ is not constant. } \end{cases} $$ Esto da una biyección $\eta\colon\text{Map}(\mathbb{N},\mathbb{N})\to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ .