Sea $p( z)$ sea un polinomio con coeficientes reales, y sea $\alpha\in\mathbb{C}.$ Demostrar que $p(\alpha) = 0$ si y sólo en $p(\bar{\alpha})=0$

Question

Sea $p( z)$ sea un polinomio con coeficientes reales, y sea $\alpha\in\mathbb{C}.$ Demostrar que $p(\alpha) = 0$ si y sólo en $p(\bar{\alpha})=0$ .

Acabo de empezar una clase de álgebra lineal y no tengo ni idea de cómo empezar este problema.

Answer 1

Escriba a $p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ donde $a_{i}\in\mathbb{R}$ para todos $0\leq i\leq n$ . Entonces, observa que tenemos:

$$ \begin{aligned} p(\alpha)=0&\iff a_{n}\alpha^{n}+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_{1}\alpha+a_{0}=0\\ &\iff\overline{a_{n}\alpha^{n}+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots +a_{1}\alpha+a_{0}}=0\\ &\iff\overline{a_{n}\alpha^{n}}+\overline{a_{n-1}\alpha^{n-1}}+\cdots+\overline{a_{1}\alpha}+\overline{a_{0}}=0\\ &\iff a_{n}\overline{\alpha}^{n}+a_{n-1}\overline{\alpha}^{n-1}+\cdots+a_{1}\overline{\alpha}+a_{0}=0\\ &\iff p(\overline{\alpha})=0, \end{aligned} $$

ya que para todo complejo $\beta,\gamma$ tenemos $\overline{\beta\gamma}=\overline{\beta}\overline{\gamma}$ y $\overline{\beta+\gamma}=\overline{\beta}+\overline{\gamma}$ y $\overline{r}=r$ para todos $r\in\mathbb{R}$ .

Answer 2

Sea $\alpha$ sea un número complejo no real. Y que $Q(x)=(x-\alpha)(x-\overline\alpha)$ . Claramente $Q(x)$ es un polinomio con coeficientes reales.

Supongamos que existe un polinomio $R(x)$ con $R(\alpha)=0$ . Entonces $Q(x)$ divide $R(x)$ .

De lo contrario, tenemos $R(x)=P(x)Q(x)+S(x)$ donde $S(x)$ es un polinomio distinto de cero de grado como máximo $1$ con $S(\alpha)=0$ no existe ninguna, esto es una contradicción.

Answer 3

Escribir: $$ f(\alpha) = \Re(f(\alpha))+i\Im(f(\alpha)) $$ cuando $f$ tiene un cero, tanto la parte real como la imaginaria deben ser cero, es decir $\Re(f(\alpha))=0$ y $\Im(f(\alpha))=0$

observe ahora que si $f$ tiene coeficientes reales, entonces $$ f(\bar \alpha)=\overline {f(\alpha)} =\Re(f(\alpha)) -i\Im(f(\alpha)) $$