condiciones necesarias y suficientes para que un sistema dinámico aislado pueda aproximarse automáticamente al equilibrio térmico

Question

Dado un aislado $N$ -sistema de partículas con interacción de sólo dos cuerpos, es decir $$H=\sum_{i=1}^N\frac{\mathbf{p}_i^2}{2m}+\sum_{i<j}V(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)$$

En el límite termodinámico, es decir $N\gg 1$ y $N/V=$ constante, parece que no todas las interacciones entre dos cuerpos pueden hacer que el sistema se aproxime automáticamente al equilibrio térmico. Por ejemplo, si la interacción es la fuerza de atracción inversa al cuadrado, sabemos que el sistema no puede aproximarse al equilibrio térmico.

Aunque hay Teorema H de Boltzmann para derivar la segunda ley de la termodinámica, se basa en la Ecuación de Boltzmann que se deriva de Ecuación de Liouville en aproximación de baja densidad e interacción de corto alcance.

Mi pregunta:

1. ¿Significa esto que cualquier sistema aislado con baja densidad e interacción de corto alcance puede aproximarse automáticamente al equilibrio térmico? Si no es así, ¿cuál es el contraejemplo?

2. Para una interacción a larga distancia o un sistema aislado de alta densidad, ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que dicho sistema pueda aproximarse automáticamente al equilibrio térmico? ¿Qué pasa con la interacción coulombiana del plasma (es decir, el mismo número de cargas positivas y negativas)?

3. ¿Cómo demostrar rigurosamente que un sistema autogravitatorio puro no puede aproximarse al equilibrio? Sólo he oído el argumento manoseado de que la gravedad tiene efecto de coágulo, pero nunca he visto la prueba rigurosa.

Sé que existe el postulado de la entropía máxima en el conjunto microscópico. Sólo quiero encontrar el ámbito de aplicación de este postulado de la mecánica estadística del equilibrio. Siempre he sentido curiosidad por las preguntas anteriores, pero nunca he visto la discusión en ningún libro de texto de mecánica estadística. También puede citar la literatura en la que puedo encontrar la respuesta.

Answer 1

1. ¿Significa esto que cualquier sistema aislado con baja densidad e interacción de corto alcance puede aproximarse automáticamente al equilibrio térmico? Si no es así, ¿cuál es el contraejemplo?

No, no se puede garantizar que siempre se alcance el equilibrio. Ejemplo: el gas ideal de partículas puntuales en un recipiente perfectamente rígido. Como se indica en la pregunta ¿Cómo alcanza un gas de partículas con velocidad uniforme la distribución de Maxwell-Boltzmann? se necesitan, por ejemplo, paredes no ideales o partículas finitas para alcanzar el equilibrio en este sistema.

En general, un sistema puede alcanzar el equilibrio termodinámico cuando es ergódico o mezcla de modo que los "grados de libertad rápidos" puedan promediarse y los sistemas puedan describirse únicamente mediante las magnitudes termodinámicas. Para saber cuándo un sistema presenta estas propiedades, compruebe ¿Existen condiciones necesarias y suficientes para la ergodicidad? .

2. (a) Para la interacción a larga distancia o (b) sistema aislado de alta densidad, ¿cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que dicho sistema pueda aproximarse automáticamente al equilibrio térmico? (c) ¿Qué pasa con la interacción coulombiana del plasma (es decir, el mismo número de cargas positivas y negativas)?

a) De forma rigurosa, los sistemas con interacciones de largo alcance no alcances equilibrio. Más concretamente: La relajación hacia el equilibrio es extremadamente lenta y el tiempo de relajación diverge con el número de partículas.

En realidad, estos sistemas pueden tener dos fases de relajación. Una fase rápida (a veces denominada "violenta" en astrofísica), seguida de una segunda, (divergentemente) lenta, que también puede presentar estados cuasi estacionarios. Otras características inusuales son la no aditividad y las regiones de calor específico negativo. Para más detalles, puede consultar, por ejemplo

• Campa et al. Mecánica estadística y dinámica de modelos solubles con interacciones de largo alcance ( arXiv , Libro ), y

• Dauxois et al. Dinámica y termodinámica de sistemas con interacciones de largo alcance: una introducción ( arXiv ).

b) En sistemas de alta densidad, las interacciones de corto alcance tienden a dominar y se aplica la respuesta a la pregunta anterior (es decir, la mezcla conduce al equilibrio).

c) En un plasma la carga está blindada y t verdaderamente (coulombianas) de largo alcance.

3. ¿Cómo demostrar rigurosamente que un sistema autogravitatorio puro no puede aproximarse al equilibrio? Sólo he oído el argumento manoseado de que la gravedad tiene efecto de coágulo, pero nunca he visto la prueba rigurosa.

Dado que la gravedad es una interacción de largo alcance, esta última cuestión es un caso particular de la anterior. En cualquier caso, una referencia reciente sobre el tema es la obra de Melkikh ¿Podemos utilizar la termodinámica en los sistemas con gravedad? ( e-print ).

Independientemente de la cuestión del equilibrio, el tema es muy relevante, especialmente en el contexto de la gravedad cuántica. Véase, por ejemplo, el artículo de Brown et al. Conjuntos termodinámicos y gravitación ( e-print ) y Martínez Los postulados de la termodinámica gravitatoria ( arXiv ).

En cuanto al "efecto de coágulo", podría referirse a sistemas disipativos (como los protoplanetarios).