¿Grupos finitos tales que todo irrep puede ser inducido a partir de un irrep trivial de un subgrupo?

Question

¿Cuáles son los ejemplos (características generales) de los grupos finitos $G$ ¿tal que toda irrep (representación irreducible) está contenida (como constituyente) en la representación inducida de la representación trivial de algún subgrupo no trivial? (Permito que los subgrupos varíen - me refiero a tomar todos los subgrupos, inducir las representaciones a partir de los caracteres triviales y exigir que cualquier irrep se encuentre en este conjunto).

Observación : Si inducimos desde el subgrupo = {identidad}, obtendremos una representación regular de todo el grupo, y cada irrep vive allí. Así que no debería permitir que este subgrupo trivial.

Ejemplo 1 : $S_n$ satisface esta propiedad (hay algún comentario de David Speyer que ahora no encuentro, que dice (que yo recuerde) que la inducción a partir de $S_{k1}\times S_{k2} \times\cdots\times S_{kl}$ hará el trabajo. Tengo otro argumento, pero es más complicado).

Ejemplo 2 : Tome $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para el primo p - NO satisface mi requisito - los únicos subgrupos son $\lbrace 1\rbrace$ y $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ mismo; la primera está prohibida por las reglas del juego, y la inducción a partir de la segunda dará irrep trivial.

Ejemplo 3 : Si tomamos PSL(2,7)=GL(3,2) e inducir del subgrupo 3-Sylow - contendrá todos los irreps como constituyentes (ver MO 104939 ).

En particular: ¿qué pasa con $GL(n,\mathbb{F}_p)$ y $A_n$ ?

Answer 1

Por reciprocidad de Frobenius, se induce una representación a partir de la representación trivial del subgrupo $H$ si y sólo su restricción a $H$ incluye la representación trivial. Así que cada grupo abeliano no cíclico tiene esta propiedad, porque una representación irreducible es unidimensional, por lo que los factores a través de un mapa a un grupo cíclico, por lo que tiene un núcleo.

Además, esto implica que si $H\subset G$ y $H$ tiene esta propiedad, entonces $G$ también lo hace, por lo que una condición suficiente es que un grupo tenga un subgrupo abeliano que no sea cíclico.

Esto resuelve el caso de $GL_n(\mathbb F_p)$ , $n>1$ y $p>2$ (el subgrupo diagonal), y $n>2$ y $p=2$ (un subgrupo abeliano del $2$ -Sylow subgrupo). n=2, p=2 es sólo $S_3$ que manifiestamente tiene esta propiedad. (Demostrando que esta condición suficiente no es necesaria) Entonces $GL_n$ para $n>1$ tiene esta propiedad. $GL_1$ no lo hace, ya que siempre es cíclico. (Para grupos cíclicos, toda representación inducida no es fiel, por lo que hay que tomar una irrep fiel unidimensional).

$A_n$ para $n\geq 4$ contiene el subgrupo Klein cuatro de $A_4$ y también tiene esta propiedad. $A_3$ es cíclica y, por tanto, no

No conozco una condición necesaria fácil de comprobar.

Answer 2

EDITADO EN RESPUESTA A LOS COMENTARIOS DE DAVID SPEYER Y F. LADISCH: Ejemplos de grupos finitos que no tienen la propiedad deseada, que son efectivamente exhaustivos, son los grupos finitos que aparecen como complementos de Frobenius. Son los grupos finitos que admiten una representación (necesariamente fiel) en la que cada elemento no identitario actúa sin el valor propio $1$ . Tales grupos tienen Sylow cíclico $p$ -para todos los primos Impares $p,$ y Sylow cíclico o cuaternión generalizado $2$ -subgrupos, propiedades que también aparecen en la respuesta de Will Sawin . Se trata de una clase de grupos muy restringida. Por ejemplo, el único complemento perfecto de Frobenius es ${\rm SL}(2,5).$ En cualquier caso, si $G$ es un complemento de Frobenius, y $\chi$ es un carácter irreducible complejo fiel tal que $\langle {\rm Res}^{G}_{H}(\chi), 1 \rangle =0$ para cada subgrupo cíclico no identitario $H$ de $G$ (y tal $\chi$ debe existir), entonces $\chi$ no es constituyente de ningún carácter de permutación inducido a partir del carácter trivial de un subgrupo no identitario de $G.$

Permítanme justificar que los complementos de Frobenius son sólo aquellos grupos con una representación compleja irreducible donde cada elemento no identitario actúa sin valor propio $1$ . Recordemos que un grupo de Frobenius $G$ tiene la forma $G = KH,$ donde $K \lhd G$ y $H \cap K = 1,$ y, además, $H \cap H^{g} = 1$ para todos $g \in G \backslash H.$

Observe entonces que $|K| \equiv 1$ (mod $|H|$ ), de modo que ${\rm gcd}(|K|,|H|) = 1.$ Además, sin duda tenemos $C_{G}(h) \leq H$ siempre que $h$ es un elemento no identitario de $H$ desde $h \in H \cap H^{c}$ para todos $c \in C_{G}(h).$

Sea $V$ sea una no-identidad mínima $H$ -subgrupo invariante de $K.$ A continuación, utilizando el teorema de Thompson de que un núcleo de Frobenius es nilpotente, (que en realidad es exagerado aquí, ya que por propiedades generales de los grupos de automorfismo coprimo que se encuentran en el libro de Gorenstein "Grupos Finitos", por ejemplo, $H$ normaliza un Sylow $q$ -subgrupo de $V$ para cada divisor primo $q$ de $|V|$ ), vemos que $V$ es un abeliano elemental $p$ -para algún primo $p$ . Entonces $V$ es un fiel $FH$ -módulo, donde $F = {\rm GF}(p).$ Desde $p$ no divide $|H|$ , $V$ se "eleva" a una representación compleja, y por propiedades generales (de hecho, definitorias) de los caracteres de Brauer, sigue siendo cierto que cada elemento no identitario de $H$ actúa sin valor propio $1.$ La representación "levantada" no tiene por qué ser irreducible como representación compleja, pero sus componentes irreducibles tienen todos la propiedad de que cada elemento no identitario de $H$ actúa sin valor propio $1$ en ellos (y cada uno es fiel).

Por el contrario, si $H$ es un grupo finito que tiene un carácter irreducible complejo $\chi$ que no contiene el carácter trivial en restricción a ningún subgrupo cíclico no identitario de $H,$ entonces una representación compleja de $\chi$ puede reducirse (mod $p$ ) para cualquier primo $p$ que no divide $|H|$ para permitirse un $kH$ -módulo $W$ en el que cada elemento no identitario de $H$ actúa sin puntos fijos distintos de cero, donde $k$ es algebraicamente cerrado de característica $p.$ Entonces $W$ puede realizarse sobre un campo finito, y la suma de sus distintos conjugados de Galois puede realizarse sobre ${\rm GF}(p),$ decir por módulo $V$ en ${\rm GF}(p).$ Sigue siendo cierto que cada elemento no identitario de $H$ actúa sin puntos fijos no triviales en $V,$ por lo que el producto semidirecto $VH$ es un grupo de Frobenius con núcleo $V$ y complemento $H.$ Los complementos de Frobenius son precisamente los grupos que tienen un carácter irreducible $\chi$ que no aparece como componente de ${\rm Ind}_{H}^{G}(1)$ para cualquier subgrupo no trivial $H$ de $G.$ Porque si $\chi$ es un carácter de este tipo, entonces ${\rm Res}^{G}_{H}(\chi)$ no tiene ningún constituyente trivial para cada subgrupo no trivial $H$ de $G$ en particular para cada subgrupo cíclico no trivial de $G.$ Por lo tanto, cada elemento no identitario de $G$ actúa sin el valor propio $1$ en cualquier representación compleja que permita $\chi.$ A la inversa, si cada elemento no identitario de $G$ actúa sin valor propio $1$ en una representación de $G$ entonces existe una representación irreducible $\sigma$ con esa propiedad, y si $\sigma$ aporta carácter $\chi,$ entonces $\chi$ no aparece como componente de ${\rm Ind}_{H}^{G}(1)$ para cualquier subgrupo no trivial $H$ de $G.$ Existen ejemplos de complementos de Frobenius no abelianos de orden impar: por ejemplo, sea $G = \langle x,y : x^{9} = y^{7} = 1, x^{-1}yx = y^{2} \rangle.$ Tenga en cuenta que $G$ tiene un carácter irreducible $\chi$ de grado $3$ tal que $x^{3}$ actúa, como una matriz escalar no-identitaria, de modo que ninguna no-identidad $3$ -elemento de $G$ tiene valor propio $1$ en la representación asociada, mientras que también cada potencia no identitaria de $y$ tiene tres primitivas diferentes $7$ -raíces de la unidad como sus valores propios en la representación asociada. Sin embargo, no es cierto que si un grupo finito de orden impar tiene todos sus subgrupos de Sylow cíclicos, entonces es un complemento de Frobenius: por ejemplo, un grupo no abeliano de orden $21$ no es un complemento de Frobenius (¡aunque sí es un GRUPO de Frobenius!)

Answer 3

Con respecto a los grupos lineales generales finitos (u otros grupos finitos de tipo Lie), se sabe desde hace tiempo que no se puede obtener cada carácter irreducible como constituyente de uno inducido a partir del carácter trivial de un subgrupo parabólico propio. Esto es lo que hace que todo el tema sea tan desafiante, remontándose hasta el trabajo de Frobenius para los grupos $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ y extendiéndose a través del trabajo de J.A. Green sobre caracteres de lineales generales finitos hasta el trabajo mucho más complicado procedente de la teoría de Deligne-Lusztig. Advertencia: en esta situación no estoy considerando todos los subgrupos propios posibles, sólo los relevantes para la estructura BN-par, así que por supuesto es posible encontrar excepciones. Pero en la teoría de Lie, incluidos los grupos lineales generales finitos, lo que realmente se busca son métodos uniformes para producir tablas de caracteres.

Por otro lado, para grupos de tipo Lie existe una rica teoría de lo que se puede hacer si se induce hacia arriba desde el carácter trivial de un parabólica subgrupo y luego descomponer el carácter inducido utilizando métodos del álgebra de Hecke. El problema es que no se obtiene todo lo que se desea.

Por cierto, me gustaría saber si existe una condición necesaria y suficiente razonable en un grupo finito para que la respuesta a tu pregunta sea afirmativa. (Probablemente no.) En cualquier caso, tu encabezamiento sugiere que quieres que las representaciones inducidas involucradas sean irreducibles, lo que confunde a la gente al principio.