¿Se pueden realizar todos los politopos convexos con vértices en la superficie de un cuerpo convexo?

Question

La siguiente pregunta me la hicieron en Mathematics.SE. Lamentablemente, nadie la respondió, así que pensé que podría intentarlo un nivel más arriba. Debajo de la línea se puede encontrar la pregunta ligeramente editado, el original se puede encontrar aquí .

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Todo politopo convexo $P$ tiene un tipo combinatorio, su llamada red de caras. Esta red es el conjunto de todas las caras de $P$ ordenados por inclusión. Dada una realización de este tipo combinatorio, se pueden obtener fácilmente muchas otras. Basta con aplicar un mapa proyectivo arbitrario a la realización dada y la imagen será combinatoriamente equivalente.

Ahora sería muy bonito poder realizar cada tipo combinatorio con vértices en la esfera. Por desgracia, esto no es posible. Por ejemplo, consideremos el octaedro con pirámides apiladas en cada faceta, que no puede tener todos los vértices en la esfera (y seguir siendo convexo).

Así que mis preguntas son:

¿Existe un cuerpo convexo en $\mathbb{R}^d$ tal que todo tipo combinatorio de un politopo convexo d-dimensional puede realizarse con vértices en su superficie?

Answer 1

Sí, existe tal cuerpo. En realidad, existe uno muy cercano a la bola unitaria estándar y que contiene representantes disjuntos de cada tipo combinatorio (pero estos representantes son muy pequeños).

En efecto, todo tipo combinatorio de un $d$ -politopo tiene una realización que parece la siguiente: hay un "gran" $(d-1)$ -y la superficie restante es un grafo sobre esta faceta. Para construir tal realización, elija un $(d-1)$ -En este caso, se elige un hiperplano paralelo y muy próximo a él (pero que no intersecte con el politopo) y se aplica un mapa proyectivo que envía este hiperplano al infinito.

Podemos "aplanar" aún más esta realización para que quede muy cerca de su cara grande. Elija un $\varepsilon>0$ , aplique una homotecia tal que el diámetro del politopo sea menor que $\varepsilon$ y coloca el minúsculo politopo resultante de forma que toque la esfera por un punto de su cara "grande". A continuación, consideremos el casco convexo de la esfera y el politopo. Todos los vértices estarán en la frontera de este casco convexo si el politopo está suficientemente "aplanado". Y el casco convexo diverge de la esfera sólo en una vecindad de tamaño $\sim\sqrt\varepsilon$ .

Ahora elija otro tipo combinatorio de un politopo y repita el procedimiento con un tamaño mucho menor $\varepsilon$ y una ubicación en la esfera elegida de modo que el vecindario afectado por el segundo politopo no interfiera con el primero. Y así sucesivamente. Como sólo hay un número contable de tipos combinatorios, todos ellos pueden empaquetarse en la esfera, siempre que $\varepsilon$ llega a 0 suficientemente rápido.