Tres variables, de segundo grado simétrica de la ecuación de Diophantine

Question

Encontrar enteros $f,g,h$ tal que $3(f^2+g^2+h^2)=14(fg+gh+hf)$.

Usted puede hacer utilizando una computadora o a mano.

He probado este problema durante años, no consiguió nada. Lamentablemente no sé cómo programar, pero pensé que sería de gran ayuda aquí. (Acaba de poner en marcha un programa para comprobar la carga de valores hasta conseguir uno que funciona?)

Agradecería cualquier tipo de solución a este. Sólo necesito una (f,g,h) que trabaja.

Gracias!

Answer 1

Tenemos $3(f+g+h)^2 = 3(f^2 + g^2 + h^2) + 6(fg + gh + hf) = 20(fg + gh + hf)$, por lo que tanto $f+g+h$ $fg + gh + hf$ son divisibles por $5$.

Conectar las raíces de $(X-f)(X-g)(X-h) = X^3 - (f+g+h)X^2 + (fg+gh+hf)X - fgh$, nos encontramos con que $f^3 \equiv g^3 \equiv h^3 \equiv fgh\pmod{5}$, lo cual (por la singularidad de las raíces cúbicas modulo $5$) sólo es posible si $f\equiv g \equiv h\pmod{5}$, y de ello se sigue que $f$, $g$, y $h$ son todos divisibles por $5$.

Pero $(f/5,g/5,h/5)$ a continuación, nos dan otra solución de menor magnitud. Por el descenso, la única solución posible es $(0,0,0)$.