Intervalo de confianza Bootstrap

Question

Estoy tratando de entender los ejemplos de Peter Halls "The Bootstrap and Edgeworth Expansion" en la página 13.

En el primer ejemplo para la distribución normal escribe la ecuación muestral $\mathbb{P}[|\theta(F_1)-\theta(F_2)|\leq t|F_1]=0.95$ como $\mathbb{P}[|\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}}N|\leq t|F_1]=0.95$ con $N=\frac{\sqrt{n}}{\hat{\sigma}}(\bar{X}-\mu)$ lo que significa $\theta(F_2)=\mu$ pero $\theta(F_2)$ es la estimación bootstrap de $\mu$ . No entiendo por qué se puede hacer esto.

Y en el segundo ejemplo para la distribución exponencial afirma que la ecuación de la muestra puede escribirse como $\mathbb{P}[\bar{X}|n^{-1}Y-1|\leq t|F_1]=0.95$ con $Y$ con distribución gamma y media $n$ . Aquí no entiendo por qué se puede escribir esto y qué $Y$ es exactamente, así que estoy interesado en la forma en que obtuvo esa expresión de la ecuación de la muestra.

Answer 1

Mi principal error fue que no he tenido en cuenta la distribución de $\theta(F_2)$ condicionado a $F_1$ .

1. Distribución normal

$\theta(F_2)\sim\mathcal{N}(\theta(F_1),\frac{\hat{\sigma}^2}{n})$
$\implies\theta(F_2)-\theta(F_1)\sim\mathcal{N}(0,\frac{\hat{\sigma}^2}{n})$ ya que RV con distribución normal menos su media es normal con media $0$ .
$\implies N=\frac{\sqrt{n}}{\hat{\sigma}}(\theta(F_2)-\theta(F_1))\sim \mathcal{N}(0,1)$

2. Distribución exponencial

$\theta(F_2)\sim$ Exp $(\theta(F_1))$
$\implies \frac{1}{\bar{X}}\theta(F_2)\sim$ Exp $(1)$
$\implies Y=\frac{n}{\bar{X}}\theta(F_2)\sim\Gamma(n,1)$