Dos jugadores juegan una partida lanzando un solo dado.

Question

Dos jugadores juegan una partida lanzando un solo dado. El primer jugador tira primero el dado. Si la cara superior del dado muestra 1 o 2, gana. Si no, el segundo jugador lanza el dado. Si la cara superior del dado muestra 3, 4, 5 o 6, gana. De lo contrario, el juego continúa hasta que haya un ganador.

(i) ¿Quién será el ganador más probable?

(ii) Halla la probabilidad de que el primer jugador gane la partida dado que la partida ha terminado.

(iii) ¿Cuál es la duración más probable del juego (número de tiradas) para obtener un ganador?

Mi respuesta y solución, quiero hacer algunas comprobaciones, corregidme si hay algún error.

i) Sea A = el primer jugador gana la partida en una ronda Sea B = el segundo jugador gana la partida en una ronda Probabilidad de que el primer jugador gane la partida P(A) = 1/6+1/6 = 1/3 Probabilidad de que el segundo jugador gane la partida P(B) = P(A') + (1/6+1/6+1/6+1/6) [ ] = 4/9

Por lo tanto, el segundo ganador será el más probable.

ii)

Probabilidad de que el primer jugador gane la partida dado que la partida ha terminado P(A1) + P(A2) + P(A3) + .. + P() = 1/3 + ( 1/3 ) ( 2/9 ) + ( 1/( 3) ) ( 2/( 9) )2 + ( 1/( 3) ) ( 2/( 9) )3 + .

Utilizando la fórmula de la suma de infinitos S = a/(1-r) a = 1/3 r = 2/9 s = (1/3)/(1- 2/9) = 3/7

iii.

P = 1/3 + ( 2/3 ) ( 2/3 ) = 1/3 + 4/9 = 7/9 La probabilidad menor que 1 Por lo tanto , uno es la longitud más probable del juego para producir un ganador

Answer 1

Para (i) creo que hay que tener en cuenta que los jugadores ganan después de $k$ rondas con $k=1,2,3,...$

Tenga en cuenta que para que el jugador 1 gane en $k$ rondas, significa que perdió su primera $k-1$ rondas, el jugador 2 perdió su primera $k-1$ rondas, y el jugador 1 ganó su $k$ ª ronda. Por independencia, esto es ( $A_k=$ "el jugador 1 gana después de k rondas", $B_k$ se define de forma similar para el jugador 2):

$$P(A_k)=(4/6)^{k-1}(2/6)^{k-1}(4/6)=(2/9)^{k-1}(2/3)$$

Por lo tanto $$P(\text{1 wins})=\bigcup_{k=1}^\infty A_k=\sum_{k=1}^\infty P(A_k)=(2/3)\sum_{k=1}^\infty (2/9)^{k-1}={2 \over 3}{1 \over 1- {2 \over 9}}$$

Ahora para $B_k$ jugador 1 debe perder su primer $k$ rondas, jugador $2$ su primer $k-1$ y el jugador 2 debe ganar su $k$ ª ronda, lo que da:

$$P(B_k)=(4/6)^k(2/6)^{k-1}(4/6)$$

$$P(\text{2 wins})={4 \over 9}\sum_{k=1}^\infty (2/9)^{k-1}={4 \over 9}{1 \over 1- {2 \over 9}}$$

De ello se deduce que $P(A)>P(B)$

ii) está bien.

Para iii) de nuevo la probabilidad de una partida de longitud k ganada por 1 es $(2/9)^{k-1}(2/3)$ y ganó por 2 es $(4/9)(2/9)^{k-1}$ . De ahí que los partidos más largos sean menos probables, y puesto que $2/3>4/9$ la carrera más probable es 1 ganando es 1 ronda, por lo tanto un juego de longitud 1.

Answer 2

La función de probabilidad correcta para $P(Ak)$ es :

$$\left(\frac{4}{6}\right)^{k-1}*\left(\frac{2}{6}\right)^{k-1}\frac{2}{6} = \left(\frac{2}{9}\right)^{k-1}\frac{1}{3}$$

Por lo tanto $P(A) < P(B)$