Conservación de la topología débil por homeomorfismo

Question

Tengo algunas preguntas sobre el libro de Brezis. Sabemos que M es reflexivo, por lo que existe un homeomorfismo $J:(M,\|\|_M) \to (M'',\|\|_{L(M',R)})$ entre la topología "fuerte" de M y M''. (Además J es isométrico).

1. Así que me gustaría saber por qué $B_M=B_{M''}=\{\xi\in M'':\|\xi\|_{L(E',R)}\leq 1\}$ y por qué $(M,\sigma(M,M')=(M,\sigma(M'',M')$
2. cuando la pelota $B_M$ es metrizable en la topología débil $(M,\sigma(M,M')$ por consecuencia $B_{M''}$ es metrizable para la topología de estrella débil $(M,\sigma(M'',M')$ ?

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Traducción :

Teorema III.27 : Sea $E$ sea un espacio de Banach reflexivo, $(x_n)$ una secuencia acotada en $E$ . Entonces existe una subsecuencia extraída de $(x_n)$ que converge para el $\sigma(E,E')$ topología

Demostración : Sea $M_0$ sea el espacio vectorial generado por el $(x_n)$ y $M=\overline{M_0}$ . M es un espacio separable (véase III.23). Además, M es reflexivo (véase III.17). Por lo tanto $B_M$ es un espacio compacto y metrizable para la topología $\sigma(M,M')$ . Efectivamente, $M'$ es separable (véase III.24), por lo que $B_{M''}(=B_M)$ es metrizable para $\sigma(M'',M')(=\sigma(M,M'))$ (véase III.25). A continuación, podemos extraer una subsecuencia $(x_{n_k})$ que converge para $\sigma(M,M')$ . Concluimos que $(x_n)$ converge también para $\sigma(E,E')$ (restringiendo $M$ a formas lineales en, $E$ ).

Answer 1

En realidad no tenemos igualdad, pero tenemos una identificación canónica entre los dos espacios. Esta identificación canónica se deja habitualmente implícita para simplificar la notación (a costa de confundir temporalmente a los principiantes).

Una vez explicitada la identificación, las afirmaciones son

1. $J(B_M) = B_{M''}$ lo que se deduce inmediatamente del hecho de que $J$ es un isomorfismo isométrico, y

2. $J\colon (M,\sigma(M,M')) \to (M'',\sigma(M'',M'))$ es un isomorfismo topológico. En particular, la restricción de $J$ a $B_M$ es un homeomorfismo entre $B_M$ y $B_{M''}$ donde ambos están dotados de la topología del subespacio inducida por $\sigma(M,M')$ y $\sigma(M'',M')$ respectivamente.

Está claro que si dos espacios son homeomórficos, cada uno es compacto resp. metrisable si y sólo si el otro lo es.

Para ver que $J\colon (M,\sigma(M,M'))\to (M'',\sigma(M'',M'))$ es un isomorfismo topológico, consideremos las bases de vecindad estándar de $0$ en estas topologías: Dado $\mu_1,\dotsc,\mu_k\in M'$ tenemos

$$\begin{aligned} J\left(\{ x \in M : \lvert \mu_\kappa(x)\rvert < 1 \text{ for } 1 \leqslant \kappa\leqslant k\}\right) &= J\left(\{x \in M : \lvert J(x)(\mu_\kappa)\rvert < 1 \text{ for } 1 \leqslant \kappa\leqslant k\}\right)\\ &= \{ J(x)\in M'' : \lvert J(x)(\mu_\kappa)\rvert < 1 \text{ for } 1 \leqslant \kappa\leqslant k\}\\ &= \{\varphi\in M'' : \lvert \varphi(\mu_\kappa)\rvert < 1 \text{ for } 1 \leqslant \kappa\leqslant k\}, \end{aligned}$$

así que $J$ induce una biyección entre las dos bases de vecindad, y eso implica que $J$ es un homeomorfismo, ya que $J$ es lineal.