Área de $(x-3)^2+(y+2)^2<25: (x,y) \in L_1 \cap L_2$

Question

Dos líneas $(L_1,L_2)$ interseca el círculo $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ en los puntos $(P,Q)$ y $(R,S)$ respectivamente. El punto medio del segmento de recta $PQ$ tiene $x$ -coordenadas $-\dfrac{3}{5}$ y el punto medio del segmento de recta $RS$ tiene $y$ -coordenadas $-\dfrac{3}{5}$ .

Si $A$ es el lugar de las intersecciones de los segmentos de recta $PQ$ y $RS$ entonces el área de la región $A$ es:

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Lo que he hecho:

Considere $L_1: y= ax+b$ . El punto medio del acorde $PQ$ es $(-\dfrac{3}{5}, -\dfrac{3a}{5}+b)$ . Ahora, utilizando la propiedad de que el punto medio de una cuerda de una circunferencia y el centro de la circunferencia $(3,-2)$ son perpendiculares tenemos: $\dfrac{-\dfrac{3a}{5}+b-(-2)}{-\dfrac{3}{5}-(3)} *a = -1$ $$\implies b= \dfrac{3a^2-10a+18}{5a}$$ Esto significa que podemos eliminar una variable y escribir la ecuación de $L_1: y= ax+ \dfrac{3a^2-10a+18}{5a}$

A partir de esta forma de $L_1$ podemos obtener el valor del valor mínimo del $y$ -interceptar diferenciando $b$ . Sea $b= f(a) = \dfrac{3a^2-10a+18}{5a}, f'(a) = \dfrac{3a^2-18}{5a^2}, f'(a)=0 \implies a = \pm \sqrt{6}$ . Acabo de encontrar esto con la esperanza de obtener límites en la intersección y de $L_1$ .

Ahora vamos a hacer el mismo proceso para $L_2$ .

Considere $L_2: y= cx+d$ . El punto medio del acorde $RS$ es $(\dfrac{-\dfrac{3}{5} -d}{c},-\dfrac{3}{5})$ . Ahora, utilizando la propiedad de que el punto medio de una cuerda de una circunferencia y el centro de la circunferencia $(3,-2)$ son perpendiculares tenemos: $\dfrac{-\dfrac{3}{5}+2}{\dfrac{-\dfrac{3}{5} -d}{c}-3} *c = -1$ $$\implies d= \dfrac{7c^2-15c-3}{5}$$ Esto significa que podemos eliminar una variable y escribir la ecuación de $L_2: y= cx+ \dfrac{7c^2-15c-3}{5}$

A partir de esta forma de $L_2$ podemos obtener el valor del valor mínimo del $y$ -interceptar diferenciando $d$ . Sea $d= f(c) = \dfrac{7c^2-15c-3}{5}, f'(c) = \dfrac{14c-15}{5}, f'(c)=0 \implies c = \dfrac{15}{14}$ . Acabo de encontrar esto con la esperanza de obtener límites en la intersección y de $L_2$ .

Junto con todo esto, podemos establecer límites cuando el segmento de línea está a punto de salir del círculo (tangente al círculo).

Lo que puedo visualizar:

Sea $X$ = unión de todos los segmentos de línea $PQ$ . Sea $Y$ = unión de todos los segmentos de línea $RS$ . Cada punto de la intersección de $X$ y $Y$ es un punto de intersección candidato de las líneas $L_1$ y $L_2$ . Entonces A = $X \cap Y$

Edición 1: Vi la ecuación de $L_1$ variando como $a$ varía en DESMOS y piensa que el límite de la unión de todos los segmentos de línea PQ podría ser un círculo exterior.

Answer 1

EDITAR (Respuesta original al final).

Quiero mostrar cómo la envoltura de acordes $RS$ (o $PQ$ ) puede obtenerse sin cálculo y sin coordenadas (véase la figura siguiente).

Empecemos con un acorde $AB$ de un círculo de centro $O$ . Para cualquier punto $M$ en esa cuerda, podemos construir una línea $RS$ de paso $M$ y perpendicular a $OM$ . Queremos encontrar la envolvente de todas esas rectas, es decir, la curva que es tangente a todas las rectas $RS$ como $M$ varía en $AB$ .

Consideremos entonces otro punto $M'$ en $AB$ y su línea asociada $R'S'$ . Sea $P$ sea la intersección de $RS$ y $R'S'$ , $T$ el punto de tangencia de $RS$ con el sobre, $T'$ el punto de tangencia de $R'S'$ con el sobre. En $M'$ se acerca a $M$ , ambos $T'$ y $P$ enfoque $T$ .

Pero el círculo a través de $OMM'$ también pasa por $P$ (porque $\angle PMO=\angle PM'O=90°$ ) y este círculo, como $M'\to M$ tiende al círculo a través de $O$ tangente a $AB$ en $M$ . Por lo tanto $T$ que es la posición límite de $P$ es la intersección de ese círculo con la línea $RS$ . Además, $OT$ es el diámetro de ese círculo.

Ahora que sabemos cómo construir el punto $T$ en $RS$ , construyamos también la línea $HK$ en paralelo a $AB$ a una distancia de él igual a la distancia de $O$ de $AB$ . Si $J$ es la proyección de $T$ en él, entonces $TJ=TO$ porque la línea $CH$ que une los puntos medios de los catetos de un trapecio es la media aritmética de las bases $OK$ y $TJ$ .

De ello se deduce que el punto $T$ tiene la misma distancia a $O$ y de la línea $HK$ . Por lo tanto su lugar (que es la envolvente) es una parábola, que tiene $O$ como foco y $HK$ como director.

RESPUESTA ORIGINAL.

Lo que necesita es el sobre $\gamma_1$ formado por líneas $L_1$ y el sobre $\gamma_2$ formado por líneas $L_2$ .

Como la ecuación de $L_1$ es $y=\left(x+{3\over5}\right)a-2+{18\over5a}$ diferenciando con respecto a $a$ obtenemos: $x+{3\over5}-{18\over5a^2}=0$ que puede resolverse para $a$ : $$a^2={18\over 5x+3}.$$ Insertando esto en la ecuación de $L_1$ obtenemos (después de un poco de álgebra): $$25(2+y)^2={72}(5x+3),$$ que es la envolvente deseada $\gamma_1$ (una parábola).

Repitiendo el mismo proceso para $L_2$ podemos encontrar la ecuación de $\gamma_2$ (otra parábola): $$y=-{5\over28}(3-x)^2-{3\over5}.$$ Líneas $L_1$ y $L_2$ son tangentes a su envolvente, por lo tanto el área que se quiere calcular es la externa a ambas parábolas pero dentro del círculo.

Para calcular el área, hay que encontrar las coordenadas de la intersección superior $A$ entre $\gamma_1$ y el círculo, de la intersección izquierda $C$ entre $\gamma_2$ y el círculo y de la intersección $B$ entre $\gamma_1$ y $\gamma_2$ dentro del círculo: $$A=\left(\frac{4}{5},\frac{6}{5} \sqrt{14}-2\right),\quad C=\left(3-\frac{6}{5}\sqrt{14},-\frac{21}{5}\right),\quad B=\left(\frac{1}{5} \left(29-12 \sqrt{7}\right),\frac{2}{5} \left(6 \sqrt{7}-23\right)\right).$$

Integrar a lo largo de $y$ el área puede calcularse como $$\begin{align} area&=\int_{y_B}^{y_A} \left[\left(\frac{5}{72}(y+2)^2-\frac{3}{5}\right)-\left(3-\sqrt{25-(y+2)^2}\right)\right] \, dy \\ &+\int_{y_C}^{y_B} \left[\left(-\frac{2}{5} \sqrt{-35 y-21}+3\right)-\left(3-\sqrt{25-(y+2)^2}\right)\right] \, dy \\ &=\frac{25 \pi }{4}+4 \sqrt{14 \left(9-4 \sqrt{2}\right)}-\frac{3004}{75}. \end{align}$$

Answer 2

Antes de intentar resolver este problema hay que visualizarlo:

Sea $U$ = unión de todas las líneas $L_1$ . Sea $V$ = unión de todas las líneas $L_2$ . Cada punto de la región $U \cap V$ es un punto de intersección candidato de las líneas $L_1$ y $L_2$ . Por lo tanto, $L = U \cap V$ tal que el punto de intersección se encuentre dentro del círculo.

Algunos datos: Para más información

1. $y = mx + \dfrac{a}{m}$ es una tangente a la parábola $y^2 = 4ax$ sea cual sea el valor de $m$ .

2. $y = mx -am^2$ es una tangente a la parábola $x^2 = 4ay$ sea cual sea el valor de $m$ .

3. Para cualquier punto $P$ que está fuera de una parábola, existe al menos una tangente a la parábola que pasa por $P$ .

Estudiar el conjunto de líneas $L_1$ :

Considere $L_1: y= ax+b$ . El punto medio del acorde $PQ$ es $(-\dfrac{3}{5}, -\dfrac{3a}{5}+b)$ . Ahora, utilizando la propiedad de que el punto medio de una cuerda de una circunferencia y el centro de la circunferencia $(3,-2)$ son perpendiculares tenemos: $\dfrac{-\dfrac{3a}{5}+b-(-2)}{-\dfrac{3}{5}-(3)} *a = -1$ $$\implies b= \dfrac{3a^2-10a+18}{5a} = \dfrac{3a}{5} -2 + \dfrac{18}{5a}$$ Esto significa que podemos eliminar una variable y escribir la ecuación de $L_1: y= ax+ \dfrac{3a^2-10a+18}{5a}$ para todos $a$ .

$L_1: y+2= a(x+ \dfrac{3}{5})+\dfrac{18}{5a}$ . Sea $Y = y+2, X = x+ \dfrac{3}{5} \implies Y = aX + \dfrac{18}{5a}$ . Utilizando el hecho 1, obtenemos que $L_1$ es siempre tangente a la parábola: $Y^2 = \dfrac{72X}{5}$ . Tras la sustitución inversa, obtenemos: $(y+2)^2 = \dfrac{72(x+ \dfrac{3}{5})}{5} \implies 25(y+2)^2 = 72(5x+3)$ . En conclusión, el conjunto de líneas $L_1$ no son más que el conjunto de todas las tangentes a esta parábola: ( $P_1$ ). Utilizando el hecho 3, para cualquier punto que esté fuera de $P_1$ una línea tangente desde $P_1$ se puede llegar a ese punto. Por tanto, la unión de todas las tangentes es la región exterior a $P_1$ .

Estudiar el conjunto de líneas $L_2$ :

Considere $L_2: y= cx+d$ . El punto medio del acorde $RS$ es $(\dfrac{-\dfrac{3}{5} -d}{c},-\dfrac{3}{5})$ . Ahora, utilizando la propiedad de que el punto medio de una cuerda de una circunferencia y el centro de la circunferencia $(3,-2)$ son perpendiculares tenemos: $\dfrac{-\dfrac{3}{5}+2}{\dfrac{-\dfrac{3}{5} -d}{c}-3} *c = -1$ $$\implies d= \dfrac{7c^2-15c-3}{5} = \dfrac{7c^2}{5} - 5c - \dfrac{3}{5}$$ Esto significa que podemos eliminar una variable y escribir la ecuación de $L_2: y= cx+ \dfrac{7c^2-15c-3}{5}$ para todos $c$ .

$L_2: y+ \dfrac{3}{5}= c(x- 3)+\dfrac{7c^2}{5}$ . Sea $Y = y+ \dfrac{3}{5}, X = x- 3\implies Y = cX + \dfrac{7c^2}{5}$ . Utilizando el hecho 2, obtenemos que $L_2$ es siempre tangente a la parábola: $X^2 = -\dfrac{28Y}{5}$ . Tras la sustitución inversa, obtenemos: $(X-3)^2 = -\dfrac{28(y+ \dfrac{3}{5})}{5} \implies y= \dfrac{-5(x-3)^2}{28} - \dfrac{3}{5} (P_2)$ .

Así que en general, para cualquier punto fuera de ambos $P_1$ y $P_2$ se puede trazar una tangente a ambos $P_1$ y $P_2$ desde ese punto, por lo que el lugar geométrico de los puntos de intersección de $L_1$ y $L_2$ es cualquier punto fuera de ambas parábolas. Pero debemos recordar que el punto de intersección debe estar dentro del círculo porque estamos buscando el lugar de intersección de las cuerdas $PQ$ y $RS$ ambos deben estar dentro del círculo, por lo que su intersección también estará dentro del círculo. Así que la región es: $$L: \{(x,y) \in \mathbb{R}: y> \dfrac{-5(x-3)^2}{28} - \dfrac{3}{5}, 25(y+2)^2 > 72(5x+3), (x-3)^2 + (y+2)^2<25 \}$$

Para simplificar el cálculo del área, vamos a desplazar esta región (haciendo que el círculo tenga el centro en el origen): $X = x+3, Y = y-2$ $$\implies L: \{(X,Y) \in \mathbb{R}: Y> \dfrac{-5(X)^2}{28} + \dfrac{7}{5}, 25(y)^2 > 72(5x+18), (x)^2 + (y)^2<25 \}$$

$A: \left(- \dfrac{11}{5}, \dfrac{6\sqrt{14}}{5}\right); B: \left(-\dfrac{2(6\sqrt{7}-7)}{5}, - \dfrac{12(\sqrt{7}-3)}{5}\right); C: \left(-\dfrac{6\sqrt{14}}{5}, - \dfrac{11}{5}\right)$ .

La distancia más larga $d$ entre dos puntos cualesquiera de la región es obviamente AC porque A es el punto con coordenadas x e y máximas. Cualquier punto de $P_2$ (en la región sombreada) está más cerca de A que C porque tanto las coordenadas x como y están más cerca de A. Además cualquier otro punto a lo largo del círculo es una cuerda y C es el más alejado ya que ninguno de los puntos es el diámetro, por lo tanto C es el punto más alejado de A. $d = AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .

Encontrar la zona es una tarea tediosa que hay que hacer a mano. Se puede calcular de la siguiente manera:

Región por encima del eje: $\int_{-5}^{-\frac{18}{5}}\sqrt{25-x^{2}}dx+\int_{-\frac{18}{5}}^{-\frac{11}{5}}\left(\sqrt{25-x^{2}} - \sqrt{\frac{72\left(5x+18\right)}{25}} \right)dx$

Región por debajo del eje: $\left|\int_{-5}^{-\frac{6\sqrt{14}}{5}}-\sqrt{25-x^{2}}dx+\int_{-\frac{6\sqrt{14}}{5}}^{-\frac{18}{5}}\left(-\frac{5}{28}\left(x\right)^{2}+\frac{7}{5}\right)dx+\int_{-\frac{18}{5}}^{-\frac{2\left(6\sqrt{7}-7\right)}{5}}\left(\left(-\frac{5}{28}\left(x\right)^{2}+\frac{7}{5}\right)-\left(-\sqrt{\frac{72\left(5x+18\right)}{25}}\right)\right)dx\right|$

Sumando ambos valores obtenemos el área de la región $= 6.94701 \implies \lfloor{1000*6.94701}\rfloor = \lfloor{6947.01...}\rfloor = 6947$