$X \in \mathbb{R}^{N \times n}$ y $X$ es de rango completo, lo que significa que rank( $X$ ) = n. $K \in \mathbb{R}^{N \times N}$ e invertible. Además, $n < N$ .
¿Es esto suficiente para demostrar que $X^{\top} K X$ ¿es invertible?
Esto es lo que estoy pensando..............
Sea $col(\cdot)$ y $nul(\cdot)$ denotan el espacio de columnas y el espacio nulo de alguna matriz
Sabemos que $X$ es de rango completo, esto significa que $nul(X) = \{0\}$ . Si podemos demostrar que $col(X^{\top} K X) = col(X^{\top})$ podemos concluir que para $X^{\top} K X y = 0$ sólo si $y = 0$ Así pues $X^{\top} K X$ tiene columnas linealmente independientes y también es una matriz cuadrada, por lo tanto invertible.
Pude demostrar $col(X^{\top} K X) \subseteq col(X^{\top})$ pero ¿cómo demuestro la igualdad o es $col(X^{\top} K X) = col(X^{\top})$ ? ¿O hay otra forma de hacerlo? O $X^{\top} K X$ no es realmente invertible?
