Sea $R$ un anillo con máximo común divisor. Si $a,b,c \in R$ tal que $a|bc$ et $(a,b)=1$ entonces $a|c$ .

Question

Sea $R$ un anillo con máximo común divisor. Demostrar que si $a,b,c \in R$ tal que $a|bc$ et $(a,b)=1$ entonces $a|c$ .

Observaciones: Intenté usar el teorema de Bezout, pero en mi curso vimos que sólo se aplica a dominios principales, intenté usar también el ajuste, pero no pude terminar.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Se puede generalizar la prueba basada en Bezout sustituyendo la combinación lineal Bezout $\,\color{#c00}{ja+kb = 1}\,$ por el gcd $\,\color{#0a0}{(a,b)=1}.\,$ Entonces se sustituye el uso de la ley distributiva de enteros por el uso de la ley Ley Distributiva GCD, a saber

$\qquad\qquad a\mid bc\,\Rightarrow\,a\mid ac,bc\,\Rightarrow\, a\mid jac\!+\!kbc = (\color{#c00}{ja+kb})c = c$

$\qquad\qquad a\mid bc\,\Rightarrow\, a\mid ac,bc\,\Rightarrow\, a\mid\, (ac,\ bc)\ =\ \color{#0a0}{(a,\ b)}\,c = c$