Ques del examen: sucesión de funciones e integrales impropias

Question

$P_n(x):R\rightarrow R$ es una secuencia de funciones definidas por: $$P_n(x)= \frac{n}{1+n^2x^2}$$

f:R->C es continua y 2pi periódica. Definimos:

$$f_n(x)=\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\infty}^{\infty}f(x-t)P_n(t)dt$$

Debo probar que $f_n \rightarrow f$ uniformemente en $\mathbb R$ .

Este es un ejercicio del examen final de cálculo. Supongo que está relacionado de alguna manera con Fourier. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Idea: $\frac1\pi\frac{n}{1+n^2x^2}$ es un aproximación a la identidad .