¿Pistas para el problema de la secuencia recursiva?

Question

Estoy trabajando en este problema:

Sólo me gustaría una pista si es posible. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$1)$ Calculado la secuencia a más términos (si no me he equivocado): $2, 7, 1, 4, 7, 4, 2, 8, 2, 8, 8, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 6,4, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 3, 6, 2, 4, 3, 2.$

$2)$ Escribí las posiciones de los primeros $6's$ : $13, 15, 17, 18, 21,22,23,24,25,27,35,37, 39$

No pude encontrar un patrón en ninguna parte.

EDITAR: Al final llegué al mismo planteamiento que dio Anatoly en su respuesta (es decir, buscar un trozo autorreproducible). Sin embargo, no pude encontrar ningún trozo de este tipo. Me pregunto cuál es la mejor manera de encontrarlo.

Answer 1

Tenemos que buscar un patrón de dígitos que se produzcan de forma cíclica y que contengan el dígito $6$ . Por ejemplo, si la secuencia $888$ se produce, engendra como secuencias sucesivas $6464 \,$ , $2424...\, $ , $888\,$ . Por lo tanto, si demostramos que un triple $888$ implica necesariamente que hay infinitas $6$ en toda la secuencia.

En realidad, el triple $888\,$ ocurre: ya ha observado que la secuencia contiene $636\,$ que engendra $1818\,$ que a su vez engendra $888\,$ .