Nueve personas sentadas alrededor de una mesa ..

Question

Por la noche, se pidió pizza nueve personas se sentaron alrededor de una mesa redonda, 50 porciones de pizza se sirvieron a estas nueve personas. Demuestra que había dos personas sentadas una al lado de la otra que comieron al menos 12 trozos de pizza.

Utilicé el principio del agujero de paloma para determinar 50/9 = 5,5 => 6

Por lo tanto, al menos una persona se comió 6 trozos de pizza.

Sólo que no sé cómo probar que dos personas comieron al menos 12 rebanadas..

Agradecería enormemente su ayuda.

Answer 1

Dado que, por término medio, la gente comía $50/9<6$ rodajas, existe una persona que comió como máximo $5$ rodajas. Las otras ocho personas juntas comieron al menos $45$ rodajas. ¿Puedes concluir?

Answer 2

Supongamos lo contrario, es decir, que cada par de personas adyacentes no comió más que $11$ rodajas.

Existen $9$ pares de personas adyacentes, donde contamos las personas 1 y 9 como adyacentes. Por tanto, si sumamos las porciones consumidas por cada pareja (personas 1 y 2, personas 2 y 3, etc.), el total es como máximo $9 \times 11 = 99$ . Pero al hacerlo, hemos contado cada rebanada exactamente dos veces, por lo que el total debe ser $2 \times 50 = 100$ .

Esta contradicción demuestra que nuestra hipótesis inicial debe ser falsa.

Answer 3

Sea $K_1, K_2, \dots, K_9$ ser número de pizzas para personas individuales. Entonces

$$K_1+ K_2+ K_3+K_4+K_5+K_6+K_7+K_8+ K_9 = 50$$

Existen $9$ parejas de personas sentadas una al lado de la otra (vecinos). Comían $P_1, P_2, \dots, P_9$ piccas, donde

$$P_1 = K_1 + K_2\\ P_2 = K_2 + K_3\\ \vdots\\ P_9 = K_9 + K_1\\ $$

Ahora

\begin{array}{lllllllllll} &P_1 + &P_2 + &P_3 + &P_4 + &P_5 + &P_6 + &P_7+ &P_8 + &P_9 \\[1em] = &K_1 + &K_2 \\ + &&K_2 + &K_3 \\ + &&&K_3 + &K_4 \\ + &&&&K_4 + &K_5 \\ + &&&&&K_5 + &K_6 \\ + &&&&&&K_6 + &K_7 \\ + &&&&&&&K_7 + &K_8 \\ + &&&&&&&&K_8 + &K_9 \\ + &K_1 + &&&&&&&&K_9 \\ \hline = &2K_1 + &2K_2 + &2K_3 + &2K_4 + &2K_5 + &2K_6 + &2K_7 + &2K_8 + &2K_9 \\[1ex] = 2(&K_1 + &K_2 + &K_3 + &K_4 + &K_5 + &K_6 + &K_7 + &K_8 + &K_9 )\\ = 2\cdot 50 = 100, \end{array}

es decir

$$P_1+ P_2+ P_3+P_4+P_5+P_6+P_7+P_8+ P_9 = 100$$

Esto significa que $100$ pizzas se divide en $9$ pares, y como $100/9 > 11,\ $ al menos una pareja debe conseguir al menos 12 pizzas.