Demostrar por inducción matemática, que $81\times 3^{2n} - 2^{2n}$ es divisible por $5$ donde $n \in \mathbb{Z}^+$

Question

Para todos $k$ la ecuación que se me ocurrió es $3^{4+2k} = 5m + 2^{2k}$ donde $m$ es un número entero positivo.

Para todos $k+1$ la expresión es $3^{6+2k} - 2^{2k+2}$ .

He intentado introducir la primera ecuación para llegar a una expresión que se pueda expresar con el número entero $5$ tomado común, pero soy incapaz de averiguar la manipulación necesaria de las expresiones para llegar al resultado.

Answer 1

$$81\cdot3^{2n}-2^{2n}=5k\implies \\\begin{align}81\cdot3^{2(n+1)}-2^{2(n+1)}=81\cdot9\cdot3^{2n}-4\cdot2^{2n}&=9\cdot(81\cdot3^{2n}-2^{2n})+5\cdot2^{2n} \\&=9\cdot5k+5\cdot2^{2n} \\&=5k'.\end{align}$$

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Más corto:

$$81\cdot3^{2n}-2^{2n}=9^n-4^n\mod 5\implies 9^{n+1}-4^{n+1}=9\cdot9^n-4\cdot4^n=4(9^n-4^n)\mod5.$$

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Aún más corto:

$$81\cdot3^{2n}-2^{2n}=9^n-4^n=4^n-4^n\mod 5.$$

Answer 2

Módulo $5$ , tienes

$$ 81\times 3^{2n} - 2^{2n}= 81\times 9^n - 4^n = 81\times (-1)^n - (-1)^n= 80\times (-1)^n = 0. $$

Answer 3

Demostrémoslo por inducción.

Sea $\lambda_n=81.(3^{2n}-2^{2n})$ donde $n$ es un número entero

Escalón base : $n=1\Rightarrow \lambda_1=81.(9-4)=81\times 5$ que es claramente divisible por cinco.

$\therefore $ Paso base verificado.

Hipótesis de inducción : Para cada $k\leq n,\space 5|\lambda_n$ donde $k$ es un número entero

Ahora para $k=n+1$ tenemos $\lambda_{n+1}=81.(3^{2n+2}-2^{2n+2})$ $$\lambda_{n+1}=81.(3^{2n}.3^2-2^{2n}.2^2)$$ $$\lambda_{n+1}=81.(3^{2n}.3^2-2^{2n}.2^2-2^{2n}.3^2+2^{2n}.3^2+3^{2n}.2^2-3^{2n}.2^2)$$ Al reordenar los términos, obtenemos: $$\lambda_{n+1}=81.((3^{2n}.3^2-2^{2n}.3^2)+(3^{2n}.2^2-2^{2n}.2^2)-(3^{2n}.2^2-2^{2n}.3^2))$$

$$\lambda_{n+1}=81.(9\lambda_n+4\lambda_n-36\lambda_{n-1})$$ ahora $5|\lambda_n$ y a través de nuestra hipótesis, $5|\lambda_{n-1}$

$\therefore 5|\lambda_{n+1}$

Ahora bien, esto implica que nuestra hipótesis también se cumple para valores integrales superiores a $n$ .

$\therefore $ nuestra hipótesis se cumple para todos los enteros positivos.

Editar : Siento no haber leído bien la pregunta. Pero esto todavía se puede resolver a partir de este resultado.

Este resultado dice que $5|81(3^{2n}-2^{2n})\Rightarrow 5|(81.3^{2n}-2^{2n})-80.2^{2n}$

Ahora como $5|80.2^{2n}\space \space (5|80)$ es evidente que $5|(81\times 3^{2n}-2^{2n})$ de ahí su resultado.

Answer 4

$3^{6+2k}-2^{2+2k}=4(3^{4+2k}-2^{2k})+5\times3^{4+2k}=4(5m)+5(l)=5(4m+l)$

Answer 5

Sea $a_n=81\times 3^{2n} - 2^{2n}$ entonces observa $a_{n+1}-9a_n=5\cdot 4^n$ (verificar). Apliquemos ahora la hipótesis de inducción $5 \mid a_n$ .