Hay $K$ puntos linealmente independientes en un simplex de $N-1$ dimensiones: $$x^{1}, \ldots, x^{K} \in \Delta^{N-1}$$ $$x^{k} = (x^{k}_{1}, \ldots, x^{k}_{N})$$ Me gustaría demostrar que existen $K$ "esquinas" del espacio generado por $x^{1}, \ldots, x^{K}$ en el simplex: $$y^{1}, \ldots, y^{K} \in \Delta^{N-1}$$
$$\mathcal{A} = \text{span}\left(\left\{ x^{1}, \ldots, x^{K} \right\}\right) \cap \Delta^{N-1}$$
Tal que cada punto en $\mathcal{A}$ es una combinación convexa de $y^{1}, \ldots, y^{K}$.
Antecedentes: He estado intentando resolver esta pregunta (lo siento, la notación no concuerda perfectamente). La idea es que $x^{k}$ es una de las $K$ filas independientes de su matriz, y $y^{k}$ es la distribución de probabilidad para una nueva variable aleatoria $X^{k}$ independiente de $Y$. Luego podemos construir una nueva variable aleatoria $\omega$ dependiente de $Y$ con soporte $\{1, \ldots, K\}$ de manera que:
$$X = \sum_{k=1}^{K} X^{k} \mathbb{1}_{\omega=k}$$
dejando que la distribución de probabilidad de $\omega | Y$ sean los pesos convexas apropiados de los $y^{1}, \ldots, y^{k}$. Creo que la varianza de $\omega$ también proporciona una buena medida continua para la pregunta original.
Intento: Estaba tratando de idear una construcción iterativa donde primero incluyo cualquier vector base en $\mathcal{A}$, luego cualquier combinación lineal de dos vectores base en $\mathcal{A}$ no generada por los vectores que ya he incluido, "y así sucesivamente" hasta que haya construido $y^{1}, \ldots, y^{K}$. No sé cómo continuar de manera ordenada que construya de manera demostrable los $K$ puntos (o si este es el enfoque más simple).
